很多时候，我们往往不知道如何证明一些最简单、最基本的命题，即使证明本身也并不复杂。上个星期我去《数学思维方法与创新》这门通选课时，丘维声教授就提到了这个问题；在随堂统计中，知道三角函数和角公式证明方法的人出乎意料的少，而事实上高中的数学教材上印有这个公式的完整证明。
试着证明这个定理：给定一个圆，则端点在圆周上的平分圆面积的曲线以圆的直径最短。
证明：随意作一条平分圆面积的曲线（图中的红色曲线），它的两个端点分别为A、B。作出平行于AB的直径CD，作出过A点的直径AB’。注意到B和B’关于CD对称。红色曲线不可能全部在CD的一侧（否则它围住的面积小于一个半圆，无法平分圆面积），因此它与直径CD必然有交点。找出一个交点E，则曲线长度大于AE+EB，它等于AE+EB’，而AE+EB’的长度大于直径AB’。
我终于很荣幸的sf了
个人觉得证明有点小问题哈
关键在于“B和B’关于CD对称”这句话
B’是通过A点和圆心构造出来的
难道过A点且平分圆面积的曲线只有一条么
上面的这句话肯定是错的
我可以随便做一条穿越直径cd的曲线
目标就是让他和od交与E点
然后根据已有的区域的面积构造eb部分的曲线
觉得这样的曲线会有很多条
所以B点就有很多
初三和某男讨论过-_-||不过M67还是很强大的说
CD是平行于AB的，不是固定的好不好…也就是说先确定了曲线AB及两个端点，才可以确定CD的，这样不管曲线在哪里，最终做得的B’和B都是对称的，楼上理解错了吧…
好神奇哎！~
ps:差一点点，matrix同学就住到47楼207了吧，啧啧啧…
我会证明和角公式……
啊哟好开心哟～如果我去听丘老师的那节课还是有我会的东西的呀，嘻嘻～
To stefyang,
注意CD平行AB，B’总是关于CD与B对称的
…同心圆面积平分那涅…圆圈内部的其他形状涅…