有人突然问到我，有不有可能构造一个函数，它只在一个点连续，其余地方处处不连续。函数构造是一个非常诱人的问题，我非常喜欢那些具有各种不可思议的性质的函数，那些令人吃惊的特性往往违背了大多数人的直觉和常识，这些都是茶余饭后闲谈的绝佳话题。前面提到的这个问题就是一个很有趣的问题。永远不要想当然地以为只在一点连续的函数不存在，各种怪相函数可谓无奇不有。仔细考虑了一下，我想这个函数应该和Dirichlet函数有点联系吧，毕竟很多与连续性相关的函数其原型都是Dirichlet函数，比如满足“无理点处处连续、有理点处处不连续”的爆米花函数就有Dirichlet函数的影子。然后我就突然想到，我彻底火星了，而且还是超级乌龙火星——这个玩意儿我自己还在Blog上写过，只是当时我并没注意到罢了。我曾经在描述Hilbert曲线时写到：
你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。显然，任何有理数都是这个函数的一个
最小正周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。因此，该函数的最小正周期可以任意小。如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？
…………
有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。
类似地，我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数。只需把有理点上的f(x)=x换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数。
有点意思。
果然邪恶…
可以扩展到n各点吧…
Cool…
厉害。
显然，任何有理数都是这个函数的一个最小正周期
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应该说：任何有理数都是这个函数的正周期
有不有可能
？？？
拜读了您的文章，对您这头大牛很钦佩。但是我不得不指出您的两点错误：一，根据函数连续的定义以及实数的稠密性，只有一点连续的函数是不存在的。二，如果您有幸看到Dirichlet函数的图像，您会发现，这个图像不是两条直线而是一条。
实数的稠密性？又不是有理数的稠密性，LS怎么推出不存在的？
作为处处不连续的可测函数，不是无法画出图象么
很多连续性确实会看到Dirichlet函数的影子
其实似乎我这里这本糟糕的微积分书（就是最普通的课本）上就有，把Dirichlet函数记做D(x)的话，前面提到的几个函数分别可以写成D(x)，xD(x)，(x-a)(x-b)(x-c)D(x)……
然后……似乎这里D(x)换成任意的处处不连续的有界函数，应该都没问题吧……而后面这个条件看起来可以发挥YY的空间，想象各种函数……
回复地幔：1正是因为实数的稠密性，才能定义出只在一点连续的函数；2Dirichlet函数是画不出图像的
根据函数连续的定义以及实数的稠密性，只有一点连续的函数是不存在的
x*F(x),F(x)定义为迪利克雷函数
当你快乐时，你要想，这快乐不是永恒的。当你痛苦时，你要想，这痛苦也不是永恒的。