趣题：上哪儿找一个含60度的三角形？

      

    四边形 ABCD 是一个正方形，在 BC 上取一个点 M ，在 CD 上取一个点 N ，使得 BM = CN 。连接 AM 、 AN ，与对角线 BD 分别交于 P 、 Q 两点。求证： BP 、 PQ 、 QD 三条线段一定能组成一个三角形，并且这个三角形的其中一个角等于 60° 。


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    其中一种思路就是，借助一些辅助线，在图中弄出一个含 60 度的三角形来，并说明它的三边长度就是 BP 、 PQ 、 QD 。但问题的难点就是，我们上哪儿找一个含 60 度的三角形？在很多平面几何问题中，把图形扩展到三维空间中去，反而会带来意想不到的突破（可以参见这里和这里）。现在，我们又有了一个绝好的例子。

      

    如图，作一个边长与正方形相等的正方体 A1B1C1D1 – A2B2C2D2 ，在 A1B1 上截取 A1M’ = BM ，在A1D1 上截取 A1N’ = DN 。假设 A1B2 和 A2M’ 交于点 P’ ， A1D2 和 A2N’ 交于 Q’ 。注意到三角形 A1B2D2 的三条边都相等，因而它是一个等边三角形， ∠B2A1D2 = 60° 。如果图中阴影三角形的三边长度分别等于 BP 、 PQ 和 QD ，问题就解决了。显然， A1P’ = BP ， A1Q’ = QD ，因此我们只需要说明 P’Q’ = PQ 。

    容易证明， M’N’ = MN ， A2M’ = AM ， A2N’ = AN ，因此三角形 A2M’N’ 和三角形 AMN 全等，于是 ∠M’A2N’ = ∠MAN 。另外，容易看出 A2P’ = AP ， A2Q’ = AQ ，而刚才我们已经证明了 ∠M’A2N’ = ∠MAN ，于是三角形 A2P’Q’ 与三角形 APQ 全等。于是， P’Q’ = PQ 。

题目出自单遵《平面几何中的小花》。

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