这道题出自 Fifty Challenging Problems in Probability 一书中的第 49 个问题（有趣的是，这本书里其实一共有 56 个问题）。假设你有一个长度测量工具。在测量实际长度为 L 的物体时，由于不可避免的误差，你将会得到一个平均值为 L ，方差为 σ2 的随机结果。现在有两根长度未知的木棒，你需要用两次测量得出每根木棒的长度，使得所得结果的误差尽可能的小。除了分别测量每根木棒的长度以外，还有没有什么更好的方案？
答案是肯定的。假设两根木棒的真实长度分别为 A 和 B ，其中 A > B 。把它们头尾相接摆在一起，测量 A + B 的长度；再把它们并排放在一块儿，其中一头对齐，测量 A – B 的长度。把这两次测量结果分别记作 S 和 D ，那么 (S + D) / 2 就是 A 的长度， (S – D) / 2 就是 B 的长度。
注意到，测量结果 S 实际上是一个以 A + B 为中心波动的随机数，测量结果 D 实际上是一个以 A – B 为中心波动的随机数。可以证明， (S + D) / 2 就将会是一个以 A 为中心波动的随机数， (S – D) / 2 就将会是一个以 B 为中心波动的随机数。但是，为什么这样一来，误差就比直接测量 A 和 B 更小呢？
不妨假设测量结果 S 的方差为 σS2 ，测量结果 D 的方差为 σD2 ，由于对于两个独立的随机变量来说，和的方差就等于方差的和，因此 S + D 的方差就是 σS2 ＋ σD2 ，进而 (S + D) / 2 的方差就是 (σS2 ＋ σD2) / 4 ，它等于 (σ2 ＋ σ2) / 4 ，也就是 σ2 / 2 ，这显然比单独测量一次 A 更好。那么 (S – D) / 2 呢？注意到 – D 和 D 的方差是一样的，因此 (S – D) / 2 ，或者说 (S + (- D)) / 2 ，其方差也是 (σ2 ＋ σ2) / 4 = σ2 / 2 ，显然也优于单独测量 B 的结果。
利用上面这种分析误差的模型，可以很好地解释为什么“多次测量求平均值”可以减小误差：在给 n 次测量结果之和除以 n 的时候，测量结果的方差也降为了原来的 1 / n 。而今天这个问题的“和差测量方案”巧妙就巧妙在，仍然只用两次测量，却同时给两根木棒的长度都提供了方差减半的机会，最终达到的精度相当于是为每根木棒各测量了两次。
对于一组独立的随机变量，和的方差就等于方差的和。这是一个非常重要的结论，它还有很多有趣的应用。这里则是另一个我很喜欢的例子：http://www.matrix67.com/blog/archives/1810。
竟然有沙发
前排
事实上我们增添了一个“对齐＂的操作。然而如果我们考虑用尺子测量的方差，是不是也需要考虑对齐这个操作的方差呢。
為什麼 (σS2 ＋ σD2) / 4 等于 (σ2 ＋ σ2) / 4？
@mug
S是一次测量的结果，D也是，题目在一开始就说了这个测量工具每次测量结果的方差是 σ2，所以σS2就是σ2， σD2同理。
总觉得不对。如果把他想象成一根棍子，第一次测的时候方差为σ第二次为σ/2?方差跟误差不是一回事吧。必须要有无穷多次测量才有方差吧？
每次测量结果的方差是 σ2 ？ 难道跟被测量物的长度无关？
这样理解？同样是测量两次，分别测量一次结果与每个长度各相关一次，测量长度的和差则各相关两次，所以精度提高？
这里的σ2 是先验的，往往与人的直观理解相左。关于统计学与先验的话题很容易变成与0.9循环=1类似的结果（参考羊与车问题）。即使这里是数学Geek网站，怕也不能免俗。
@地壳
我也觉得。每次方差一样？侧得太准了吧
nice post
S和D是独立的吗？
在直观上理解，组合测量可以隐藏一个方差。
如果要考虑误差,那棍子表面与轴线是否平行?两根棍子头尾相连,如何保证在一条直线上?
求问LL大神一个积分问题： ∫cos（（2^m）*x）d（cotx） 求解，谢谢啊
为什么字体都比较小呢
联想到评论两种方案的异同点总比分别两种方案直观
orz
过于理论，实操性不强。
有意思…我也想看
orz~
这本质是增大信号功率以增强信噪比来抗干扰的一种办法。在这里，付出的代价就是长度测量工具的量程（最大测量范围）必须增大为2个木棒的长度和（实际测量中，测量工具量程越大，相对误差一定会更大的，精密仪器不会有很大的量程的）。或者说用方波信号传输数字信号，1V电压表示1，-1V电压表示0，传2bit“10”，每个周期内各1w功率，总共消耗2W能量；而如果传一个2V，传一个0V（就是楼主说的a-b 和 a+b），总共会消耗4W能量，接收端也可以用楼主的方法进行数据恢复，并且提高了抗干扰（尤其是共模噪声）的能力。当然同等功率下最佳的办法（抗高斯热噪声）还是传正负根号2V的电压最好。
这本质是增大信号功率以增强信噪比来抗干扰的一种办法。在这里，付出的代价就是长度测量工具的量程（最大测量范围）必须增大为2个木棒的长度和（实际测量中，测量工具量程越大，相对误差一定会更大的，精密仪器不会有很大的量程的）。或者说用方波信号传输数字信号，1V电压表示1，-1V电压表示0，传2bit“10”，每个周期内各1w功率，总共消耗2W能量；而如果传一个2V，传一个0V（就是楼主说的a-b 和 a+b），总共会消耗4W能量，接收端也可以用楼主的方法进行数据恢复，并且提高了抗干扰（尤其是共模噪声）的能力。
“利用上面这种分析误差的模型，可以很好地解释为什么“多次测量求平均值”可以减小误差：在给 n 次测量结果之和除以 n 的时候，测量结果的方差也降为了原来的 1 / n 。”
这个跟多次测量求平均值还不一样。假如你只有那一个东西，那么n次测量求平均值只能降到1/n。但是如果你有n个一样的东西，你把它们全接一起，那一次测量然后除n，方差就降到1/n²！所以关键不在多次测量上，关键在于连接的时候接口那个地方本来该有的不确定信息被抹除了，两个本来没关系的东西变成了一个整体。如果和差测量的时候允许两者基准的地方有“差点没对齐”的误差，正如用尺子测量时会有误差的话，那么这个方差就不会降低了……
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