数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
今年年初时，我曾经写过一篇名为 千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜 的文章，选取并翻译了 Mathematical Puzzles 一书中提到的未解数学谜题。不过，毕竟 Mathematical Puzzles 一书容量有限，没法把所有折磨人的数学猜想都收录进来。后来，我慢慢收集了更多漂亮的数学猜想，今天又见到 MathOverflow 的这个问题，足以凑成一篇新的文章了。于是写下来，和大家一同分享。
196 问题
一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484：
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
把 69 变成一个回文数则需要四步：
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，8813200023188。
大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。
Gilbreath 猜想
从小到大依次列出所有的质数：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
求出相邻两项之差：
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
现在，再次求出所得序列中相邻两项之差，又会得到一个新的序列：
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
重复对所得序列进行这样的操作，我们还可以依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
大家会发现一个有趣的规律：每行序列的第一个数都是 1。
某日，数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64 419 行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958 年，Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现，Gilbreath 猜想由此诞生。
这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数（也就是 346 065 536 839 行）进行了检验，也没有发现反例。
不过，这一看似简单的问题，几十年来硬是没人解决。
Ramsey 问题
有这么一个定理：六个人参加一场会议，其中某些人之间握过手，那么一定存在三个人互相之间都握过手，或者三个人互相之间都没握过手。我们可以借助鸽笼原理很快证明这个结论。选出其中一个人 A ，然后把剩下的五个人分成两组，和 A 握过手的，以及没和 A 握过手的。显然，其中一组至少有三个人。不妨假设和 A 握过手的那一组至少有三个人吧。把这一组里的三个人分别记作 B 、 C 、 D（如果这一组的人数大于 3 ，任意选三个人就行了）。如果 B 、 C 、 D 三个人之间有两个人握过手，那么这两个人和 A 就成了互相之间握过手的三人组；如果 B 、 C 、 D 三个人之间都没握过手，那么他们本身就成了互相之间都没握手的三人组。如果至少有三个人的是没和 A 握手的那一组，根据类似的推理也能得出，总能找到互相之间都握过手或者都没握过手的三个人。
1930 年，英国数学家 Frank Ramsey 证明了一个更强的结论：给定两个正整数 r 和 s ，总能找到一个 n ，使得一场 n 人会议中，或者存在 r 个人互相之间都握过手，或者存在 s 个人互相之间都没握过手。用图论的语言来叙述，就是对于任意给定的 r 和 s ，总存在一个 n ，使得在完全图 Kn 的任意一种红蓝二染色方案中，要么存在一个大小为 r 的红色完全子图，要么存在一个大小为 s 的蓝色完全子图。我们把满足条件的最小的 n 记作 R(r, s) 。
前面我们已经证明了，六个人足以产生互相都握过手的三个人或者互相都没握手的三个人，也就是说 R(3, 3) ≤ 6 。但五个人是不够的，比方说如果只有 A 和 B 、 B 和 C 、 C 和 D 、 D 和 E 、 E 和 A 之间握手，容易看出不管选哪三个人，握过手的和没握过手的总是并存。因此， R(3, 3) 精确地等于 6 。
求出 R(r, s) 的精确值出人意料地难。目前已经知道 R(4, 4) = 18 ，但对于 R(5, 5) ，我们只知道它介于 43 到 49 之间，具体的值至今仍未求出来。如果要用计算机硬求 R(5, 5) ，则计算机需要考虑的情况数大约在 10300 这个数量级，这是一个不可能完成的任务。而 R(6, 6) 就更大了，目前已知它在 102 到 165 的范围内。它的准确值是多少，恐怕我们永远都不可能知道了。
Erdős 神牛曾经说过，假如有一支异常强大的外星人军队来到地球，要求人类给出 R(5, 5) 的准确值，否则就会摧毁地球。Erdős 建议，此时我们应该集结全世界所有数学家的智慧和全世界所有计算机的力量，试着求出 R(5, 5) 来。但是，假如外星人要求人类给出 R(6, 6) 的准确值，那么 Erdős 建议，我们应该试着摧毁外星人军队。
Singmaster 猜想
在杨辉三角中，数字 1 出现了无穷多次。除了数字 1 以外，哪个数字出现的次数最多呢？ 6 出现了 3 次，不过不算多。 10 出现了 4 次，不过也不算多。 120 出现了 6 次，算多了吧？还不算多。目前已知的出现次数最多的数是 3003 ，它同时等于 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ，在杨辉三角中出现了 8 次。有没有出现次数更多的数，目前仍然是一个未解之谜。
真正精彩的来了。如果把正整数 a 在杨辉三角中出现的次数记作 N(a) ，那么函数 N(a) 是什么级别上涨的呢？ 1971 年，David Singmaster 证明了 N(a) = O(log a) ，即 N(a) 最多是对数级别上涨的。他同时猜想 N(a) = O(1) ，即 N(a) 有一个上限。这也就是 Singmaster 猜想。由于我们一直没能找到出现次数超过 8 次的数，因而这个上界很可能就是 8 。不过， Singmaster 猜测这个上界更可能是 10 或者 12 。
Erdős 认为，Singmaster 的猜想很可能是正确的，但证明起来会非常困难。目前最好的结果是，N(a) = O((log a · log log log a) / (log log a)3) 。
有理距离
在平面上是否存在一个点，它到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数？
第一次知道这个问题竟然没被解决时，我很是吃惊——我原本还以为这个问题会有一些很平凡的解呢。然而，仔细想想也不奇怪，这和很多其他的数学难题一样，本质上都是 Diophantus 方程，其解的存在性都是很难判断的。只不过，某些问题的叙述方式会给人带来一种格外基本、格外初等的感觉。
与这个问题类似的是 Euler 完美长方体问题：是否存在一个长方体，它的长、宽、高、所有面对角线以及体对角线的长度都是有理数？
事实上，还有很多“构造点集让距离满足一定关系”形式的数学问题，它们都是长期以来悬而未解的难题。
另外几个与点集内的距离有关的未解之谜，我也一并写在这里。其中一个问题是 Ulam 在 1945 年提出的：是否存在一个平面上的稠密点集，使得每两个点之间的距离都是有理数？另一个有趣的问题则是，注意到 n 个点两两之间能确定 C(n, 2) 条线段，而这个数目正好等于 1 + 2 + … + (n – 1) 。于是我们想问，是否对于任意一个正整数 n ，我们总能找出平面上任意三点不共线、任意四点不共圆的 n 个点，使得其中有一种长度的线段恰好出现了一次，有一种长度的线段恰好出现了两次，等等，一直到有一种长度的线段恰好出现了 n – 1 次？目前，人们已经构造出了 n ≤ 8 时的解，其中一部分构造可以见这里（问题 12 ）。对于 n > 8 的情况究竟是否有解，目前尚无定论。
重构猜想
这可以说是图论中最重要的猜想之一，然而我却是最近才听说。这个猜想叫做“重构猜想”（reconstruction conjecture），最早是由 Kelly 和 Ulam 提出的。它的叙述非常简单：对于某个顶点数为 n 的图（n ≥ 3），如果已知它的每一个顶点为 n – 1 的子图，是否足以将原图重构出来？
让我们把这个问题变得形式化一些。假设 A 是一个至少有三个顶点的图（顶点无标号），把它的顶点数记作 n 。我们把去掉其中一个顶点后可能得到的所有 n 个子图所组成的多重集（允许重复元素的集合）叫做图 A 的 n – 1 子图集。重构猜想就是问，如果 A 、 B 两个图拥有完全相同的 n – 1 子图集，那么这两个图是否也一定同构？
目前已经发现，有很多类型的图都是可以重构的，比如完全图（显然）、不连通图、树等等。所有图都是可重构的吗？这是图论中最大的谜题之一。
和其他的数学猜想不一样，如果要用计算机来检验这个猜想，其计算量相当惊人。目前，计算机仅仅验证了 n ≤ 11 的情况。
(3/2)n 的小数部分
假如 n 是正整数， (3/2)n 的小数部分在 [0, 1] 区间内稠密吗？
目前，我们已经知道，对于任意无理数 a ， n · a 的小数部分一定在 [0, 1] 区间内稠密。我们也已经知道，对于几乎所有的 t ，t · (3/2)n 的小数部分在 [0, 1] 区间内稠密。我们还知道，对于几乎所有的实数 b > 1 ， bn 的小数部分在 [0, 1] 区间内稠密。不过，这都还不足以解决我们刚刚提到的问题。
Kusner 猜想
定义 n 维空间中 P(p1, p2, …, pn) 和 Q(q1, q2, …, qn) 两点之间的 Manhattan 距离为 |p1 – q1| + |p2 – q2| + … + |pn – qn| ，直观地说就是在 n 维网格中从 P 到 Q 的最短路径长度。某日，木遥告诉了我一个与此相关的数学未解之谜：在 n 维空间中，最多可以有多少个 Manhattan 距离两两相等的点？
容易看出，这样的点至少可以有 2n 个，例如三维空间中 (1, 0, 0) 、 (-1, 0, 0) 、 (0, 1, 0) 、 (0, -1, 0) 、 (0, 0, 1) 、 (0, 0, -1) 就是满足要求的 6 个点。大家肯定会想，这应该就是点数最少的方案了吧？不过，真要证明起来可没那么容易。1983 年，Robert Kusner 猜想， n 维空间中 Manhattan 距离两两相等的点最多也只能有 2n 个，这也就是现在所说的 Kusner 猜想。目前人们已经证明，当 n ≤ 4 时， Kusner 猜想是正确的。当 n > 4 时呢？虽然大家相信这个猜想也应该是正确的，但还没有人能够证明。
有趣的是，在很多其他的度量空间下，同类型的问题却并没有这么棘手。如果把距离定义为标准的 Euclidean 距离，那么 n 维空间中显然最多有 n + 1 个等距点；如果把距离定义为 Chebyshev 距离（即所有 |pi – qi| 中的最大值），问题的解则是 2n ，即 n 维坐标系中单位立方体的 2n 个顶点。一旦换作 Manhattan 距离，问题就迟迟不能解决，这还真有些出人意料。
好了，这次我们就先说到这里。和往常一样，希望能看到大家留言或者来信分享更多精彩的例子。
如果文章中有错误或者时效性问题，也请速告知。
顶
沙发？
I’m Raj..
难得在前排，先留言再看。
0.0
顶呀
精彩！
大牛，你的博客怎么看博文目录啊，这样一页页往前翻要死人的啊~~~~
qianpai!
提供一个问题
我们知道 电脑的声音是波形和音量的乘值
如 3 * 3 档 有
1,2,3, 2,4,6, 3,6,9 ,合并起来有
1,2,3,4,6,9 共 6 档，5,7,8 是出不来的
问 M * M 档， 实际有多少档，哪些档是出不来的？
看题目让我想起了千万别学英语
这二和那一隔了好远啊……
问题人人都懂，却只有极少部分人真的懂。对于大部分人，停留在欣赏层面即可，就像使用电脑。
196问题是在十进制下进行的.如果在别的进制下进行呢?会不会有另外的数也需要计算很多次?
I’m majoring in math… lol
Your article thinks over
师弟，受你的影响，我最近也在看“什么是数学”，但是你的物理太没火候了。
196问题即“利克瑞尔数”。。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A9%E5%85%8B%E7%91%9E%E5%B0%94%E6%95%B0
于是想去试试15L的想法。。预计几个进制之间性质差距挺大吧。。。
看到帖子叙述，立刻想到了角古静猜想，这个也是题目表述极为简单但难度极高的数学题
任意自然数，如果是偶数就除以2，如果是奇数就乘以3再加一，最后一定变为1
My wife and I were privileged to be there for the Open Day on the 9th. I would like to say thank you to all the team for giving us so much of their valuable time while we were there. A fantastic project that will leave something incredible for future generations to learn from. I will certainly be following the project avidly over the coming years and will be attending as many open days as poO.sblesince again thanks to you all.Trevor and Stephanie Cobby, Cranleigh, England.
Ramsey 问题不是已经被证明了嘛？求分析…
LS是想说那个刘路么？他应该不是求出了R(5,5)神马的…希望M67能科普一下seetapun猜想到底是啥
这种问题最有趣了，神奇的数字，好像有这种类型的书，科普性质的； 还有一些blog专门探讨特殊数字的应用 。
Gilbreath 猜想
这个好像可解吧？两个质数必然都是奇数，奇树减奇树是偶数，偶数减偶数也是偶数，偶数不停滴互减下来，最后滴结果肯定是2。
只要不停滴产生这个数列，最后排到数列前面滴总是1、0、2了。
除非……
除非……有两个超大质数滴距离很近，近到其差能被很快滴叠代到数列前面，才能消除掉排在前面滴1、0、2。
关于超大质数滴距离问题，希望有了解滴师兄讲讲。
Ramsey 问题貌似已经被解决了
Mark一下图的重构猜想，这个问题的重要性怎么强调都不过分。
很纠结。
很有意思的数学
看到没兴趣的东西，只能说我出来打酱油了。
那个回文数的问题，好像196很快就会结束啊，4558554，然后79可能算不出来。。。很多这样的数。。。
那个完美长方体已经攻下了一大半，至于剩下的一点，哈哈，鉴于目前知识水平有限，再学习学习一段时间估计可以K.O了，，
196 + 691 = 887
887 + 788 = 1675
1675 + 5761 = 7436
7436 + 6347 = 13783
13783 + 38731 = 52514
52514 + 41525 = 94039
94039 + 93049 = 187088
187088 + 880781 = 1067869
1067869 + 9687601 = 10755470
10755470 + 7455701 = 18211171
18211171 + 17111281 = 35322452
35322452 + 25422353 = 60744805
60744805 + 50844706 = 111589511
111589511 + 115985111 = 227574622
227574622 + 226475722 = 454050344
454050344 + 443050454 = 897100798
897100798 + 897001798 = 1794102596
1794102596 + 6952014971 = 8746117567
8746117567 + 7657116478 = 16403234045
16403234045 + 54043230461 = 70446464506
70446464506 + 60546464407 = 130992928913
130992928913 + 319829299031 = 450822227944
450822227944 + 449722228054 = 900544455998
900544455998 + 899554445009 = 1800098901007
1800098901007 + 7001098900081 = 8801197801088
8801197801088 + 8801087911088 = 17602285712176
17602285712176 + 67121758220671 = 84724043932847
84724043932847 + 74823934042748 = 159547977975595
159547977975595 + 595579779745951 = 755127757721546
755127757721546 + 645127757721557 = 1400255515443103
1400255515443103 + 3013445155520041 = 4413700670963144
4413700670963144 + 4413690760073144 = 8827391431036288
8827391431036288 + 8826301341937288 = 17653692772973576
17653692772973576 + 67537927729635671 = 85191620502609247
85191620502609247 + 74290620502619158 = 159482241005228405
159482241005228405 + 504822500142284951 = 664304741147513356
664304741147513356 + 653315741147403466 = 1317620482294916822
1317620482294916822 + 2286194922840267131 = 3603815405135183953
3603815405135183953 + 3593815315045183063 = 7197630720180367016
7197630720180367016 + 6107630810270367917 = -5141482543258816683(长整形已溢出)
今天在图书馆偶然翻到了博主的书《思考的乐趣 Matrix67数学笔记》觉得挺有意思的！然后就发现了这个博客！做得很好。如果能在网页中加上页码跳转就好了，省得每次从浏览器地址栏改……/page/（数字）了。
我 chejiamao@163.com 设计了以1234为例子的数学模型：1234ABCDEFGH······1234。（1） ABCDEFGH中的各个字母都是代表某个数字；（2）应该有某种计算方法，由1234开始，按照这种计算方法一直计算下去，就会得出后面的数字，直到再现1234；（3）在互联网上查阅，没有看到对应于上述数学模型的计算方法；由此产生一种猜想：对于任意的一串数字（不能为零），用某种计算方法进行计算，最终又会再现这一串数字。上述的某种计算方法也许能够提供一种创新思路，为其它数学猜想的最终证明提供帮助。 请数学爱好者指点，存在上述的计算方法吗，如果存在，计算方法如何，又该如何去证明？
喜讯，愿共同分享。车家茂 chejiamao@163.com 所在的团队设计了以1234为例子的数学模型：1234ABCDEFGH······1234。 ABCDEFGH中的各个字母都是代表某个数；猜想：对于任意的一串数（不能为零），用某种计算方法进行计算，最终又会再现这一串数。可喜的是，车家茂所在的团队对上述的数学模型猜想的计算方法及其证明已经探索出来了；用笔直接验证了九百九十九串数，每串数都符合上述的数学模型；用逻辑推理的方法也证明了：由趋近于无穷的数字组成的一串数，同样符合上述的数学模型。由1234开始，计算产生出了数千串的数，才又再现1234，这数千串的数叫做1234的数谱。987654321产生的数谱则有数亿串的数，足以为所有中国人的电脑编码；一台电脑使用一串数，免去注册，登录时只需输入该台电脑的一串数即可；这样就免去了注册，也免去了记忆数不清的网页登录密码的烦恼；这样，一方面方便交流，也便于网络管控。看来，数谱在实际生活中有它的用武之地，值得专家、学者、社会团体、政府以及国家专门机构研究开发数谱的潜在的应用价值。