很早以前，我简单介绍过 Julia 集和 Mandelbrot 集，文章在此。这可以说是数学中最神秘、最令人敬畏的研究对象之一。不过，那时我对这个话题了解还不太深。今天见到这个网页，让我对 Julia 集和 Mandelbrot 集有了更深的了解。我查阅了一些其他的资料，然后写下这篇长文，与大家一同分享。继续阅读以前，建议先看看我原来那篇文章（很短），那里面有很多漂亮的 Julia 集和 Mandelbrot 集的图片，这篇文章就不再展示了。

 
    还是让我们先来简单复习一下复数吧。由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为复数（即一切形如 a + b i 的数）。正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分，则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这个平面直角坐标系叫做“复平面”。

    复数与复数之间不但可以相加相减，还可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等于 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 则等于 (ac – bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我们不能讨论一个复数乘以另一个复数后是变大了还是变小了，因为复数根本没有大小之分。如果真的要比较它们的大小，我们可以比较它们的模。复数 a + b i 的模就是 a² + b² 的平方根，也就是它到复平面原点的距离。如果我们用不同的颜色来表示不同大小的模，那么整个复平面大致就是这样：

      

    如果我们用 |z| 来表示复数 z 的模，那么上面这个图也就是函数 f(z) = |z| 的“等高线地图”。复数的模有一个重要的性质，大家可以自行验证：乘积的模等于模的乘积，即 |a·b| = |a|·|b| 。现在，我们对复平面上的所有点都进行平方，画出 f(z) = |z²| 的等高线地图：

      

    可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空间，就对应着那些模已经相当大了的复数。

    有趣的事情开始了。如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ，那么整个图会怎样变化呢？容易想到，对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ，这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方向上压缩。这也就是 f(z) = |z² + 0.3| 的等高线地形图：

      

    接下来，我们再对所得的图形进行平方，继续加剧模的变化：

      

    然后，再给每个点的实数部分加上 0.3 ，于是得到 f(z) = |(z² + 0.3)² + 0.3| 的图像：

      

    再平方：

      

    再加上 0.3 ，此时图形已经开始变得有意思起来了：

      

    再平方一次：

      

    再加上 0.3 ：

      

    这也就是函数 f(z) = |(((z² + 0.3)² + 0.3)² + 0.3)² + 0.3| 的图像，它反映了对复平面上的各个复数“平方再加 0.3 ”迭代 4 次后模的大小情况。随着迭代次数的增加，整个图形将会变得越来越复杂。下图显示的就是迭代 12 次后的结果，可以看见整个图形已经具有了分形图形的复杂程度（图形的“黑边”其实是密集的等高线）：

      

    上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数，至少目前还不算太大。这给出了上图的另外一种解读方法：随着迭代次数的增加，复平面上各个点的模的发散速度。有没有什么复数，随着迭代次数的增加，最终并不会趋于无穷呢？当然有。比如方程 z² + 0.3 = z 的两个复数解，它是这个迭代下的不动点，每次迭代后都维持原来的值，自然不会趋于无穷。我们把所有这种迭代后不会趋于无穷的点所组成的集合就叫做 Julia 集，它是以法国数学家 Gaston Julia 命名的。只可惜， z → z² + 0.3 的 Julia 集是由一些孤点组成的，我们无法把它画出来。上图中的四叶草形区域也只是那些发散比较慢的点，但再多迭代几次，最终也会趋于无穷。

 
 
    是否存在适当的常数 c ，使得迭代 z → z² + c 的 Julia 集能够形成一块连通的区域呢？答案是肯定的。下图是对复平面上的点执行 12 次 z → z² – 1 迭代后的结果，中间这些紫色和黄色的点已经稳定下来，不会发散了，它们构成了一块连通的 Julia 集：

      

    常数 c 还可以是复数。下图则是迭代过程 z → z² + (0.2 + 0.5 i) 迭代 12 次的结果，其中也有一些模非常小的点，它们不会发散，构成了连通的 Julia 集：

      

    难以置信的是，每取一个不同的 c ，我们都能得到一个不同的 Julia 集，这些 Julia 集大小不同，形状各异，可谓是百花齐放，各有各的美丽。在我的那篇旧文章里，可以找到更多的 Julia 集图片。

 
 
    在 Julia 集相关领域中，有一个非常漂亮而且非常重要的定理叫做 fundamental dichotomy theorem ，它告诉我们，一个 Julia 集要么是完全连通的，任意两点间都有一条通路；要么是完全不连通的，整个图形全是一个个孤立的点。

    随着常数 c 的变化，对应的 Julia 集也会连续地发生变化。我们比较关心的一个问题就是，哪些 c 值会让对应的 Julia 集形成一个连通的区域？为了回答这个问题，让我们来看看 Julia 集的另外一种计算方法。

    在研究 Julia 集时，我们通常假设 c 的模总是小于 2 的。注意到，对任意一个满足 |z| > 2 的复数 z ，都有 |z²| = |z|² > 2·|z| ，也就是说，对这样的 z 进行平方后，它的模至少都会变成原来的两倍。即使常数 c 的方向和 z² 的方向完全相反，也不足以把 z² 的模抵消到原来的水平。因此，在迭代运算过程中，一旦某一步结果的模大于 2 了，可以断定它必将发散到无穷。

    因此，我们有了 Julia 集合的另一个定义。 z → z² + c 对应的 Julia 集，就是无限迭代下去后模仍然不超过 2 的点。于是，我们立即有了 Julia 集的另一种生成方法。我们可以从复平面上模不超过 2 的所有点，也就是以原点为中心半径为 2 的圆盘出发，看看哪些点的平方加 c 后会落在这个圆盘内，进而考察哪些点平方加 c 再平方加 c 后将会落在这个圆盘内，如此反向迭代，不断找出原象，反推出符合要求的点集。我们先用 c = -1 来试验一下。

    这就是复平面上模小于 2 的所有复数所组成的点集，即一个半径为 2 的圆盘：

      

    我们把上图右移一个单位，得到所有加上 -1 后模小于 2 的点：

      

    我们再找出上图区域中的每个点的平方根（别忘了，每个数都有两个平方根，因此每个点都有两个原象），于是得到所有平方再加 -1 后模仍然小于 2 的点。由于开平方是一个连续函数，而每个点都有一正一负两个平方根，因此整个图像本该变为两个关于原点对称的连通区域。不过，这两个连通区域有所重合，它们将会并在一起成为一整块连通区域。为了看出这一点，只需要注意到，0 是一个非常特殊的数，它的原象只有一个，就是它本身。由于上图中的区域内包含零点，因此它的两组原象也都包含原点，这就表明两个区域是有重合的，结果就像下图这样：

      

    再将上图右移一个单位：

      

    再作出平方根：

      

    再次右移：

      

    再次找平方根，由于零点始终没有跑出去，因此图像始终是一整块连通区域：

      

    再次右移：

      

    再次找平方根，图像仍然连通：

      

    可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z² – 1 的 Julia 集了。下图则是反推 12 次后的结果，它基本上可以看作是 z → z² – 1 的 Julia 集了：

      

    让我们再来看一个无法构成连通区域的 Julia 集的例子。取 c = – 1 – 0.9 i ，让我们来看看逆推的过程。还是先画出半径为 2 的圆盘：

      

    现在，找出所有加上 – 1 – 0.9 i 后会落进该圆盘的点，实际上相当于把圆盘右移 1 个单位，再上移 0.9 个单位：

      

    寻找上图中的点的平方根：

      

    再平移：

      

    再找平方根：

      

    再次平移：

      

    这里发生了一个非常值得注意的现象：原点现在跑到了灰色区域的外边。也就是说，这个点在若干次迭代之后不能落入那个半径为 2 的圆盘里，表明这个点的模最终将会发散。换句话说， 0 不属于 c = – 1 – 0.9 i 时的 Julia 集。

    由于 0 的原象还是 0 ，因此当我们考察哪些点的平方会落入上图中的区域时，0 继续排除在外。此时注意，灰色区域内不包含原点，说明这个图形不见得仍然连通了。事实上，我们可以证明，一个不包含原点的区域，开平方后必然会得到两块不连通的区域。为了证明这一点，我们在上图中画一条过原点的回路，把整个图形围起来。对这个回路上的所有点开平方后，将会得到一个过原点的、关于原点对称的封闭曲线。容易想到，这条闭曲线一定是一个 8 字形。而上图灰色区域的两个原象，则只能分居在 8 字形的两个圆圈中：

      

    我们把上图再次平移：

      

    再取平方根。注意到，上图中的两块区域都不含零点，因此由前面的结论，每个区域都将会再分成两个更小的连通区域，从而使得整个图中出现四个连通块：

      

    如此逆推下去，连通块的数量将会越来越多，它们的总面积则会越来越小，最后就只剩下一些孤立的点了，就如同我们最早所说的 z → z² + 0.3 的 Julia 集一样。只不过，要想看出 z → z² + 0.3 所对应的 Julia 集并不连通，我们需要的逆推次数更多一些。下图中可以看到，直到第 12 次逆推，零点仍然还在候选区域中；到了第 13 次逆推，才把零点排除在 Julia 集之外。此后，图形很快便收缩为了一堆离散的点。

      

 
 
    也就是说，为了判断 z → z² + c 的 Julia 集是否连通，我们只需要测试一下，看对初始值 0 迭代无穷多次，所得的模是否会趋于无穷大。我们自然希望知道，能够使 Julia 集连通的常数值 c 在复平面上组成了一个什么样的图形。为此，我们只需要固定初始值为 0 ，把复平面上不同的点当作 c ，画出迭代过程中模的发散速度（和最开始制作 Julia 集一样，我们用不同的颜色来表示不同的发散速度）：

      

    神奇的是，这本身竟然又是一个漂亮的分形图形！数学家 Benoît B. Mandelbrot 是最早对其进行系统研究的人之一，因此我们就把所有不会让零点发散的复数 c 组成的集合叫做 Mandelbrot 集。更多 Mandelbrot 集细节的惊人图片，也可以参见那篇老文章。整个 Mandelbrot 集可以包含于一个以原点为圆心，半径为 2 的圆里。这也就是我们在考虑 Julia 集时往往假设常数 c 的模小于 2 的原因。

    生成 Mandelbrot 集的算法和生成 Julia 集的算法完全一样，只是这一次我们固定的是初始值，而把 c 当作了变量。Mandelbrot 集内的每一个点就对应了一个连通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的点则对应了不连通的 Julia 集，并且很容易想到，越靠近 Mandelbrot 集的边界，对应的 Julia 集形状就越诡异。因此， Mandelbrot 集还有另外一种解读方法：它就是 Julia 集的缩略图！完全没有比喻的意思，它真的就是 Julia 集的缩略图：

      

    因此， Mandelbrot 集可以说是所有无穷多个 Julia 集的一个高度总结。究其原因，还是因为 Julia 集的零点太重要了。Julia 集的零点的迭代结果，很大程度上决定了 Julia 集的形状，就好像这个零点“知道” Julia 集是什么样子似的。而 Mandelbrot 集则把所有的零点信息都汇聚在了一起，自然高度归纳出了所有的 Julia 集。

 
 
    让我们总结一下 Julia 集和 Mandelbrot 集的关系。在迭代过程 z → z² + c 中，我们有四个参数： z 的初始值的实部、虚部，以及 c 的实部、虚部。 Julia 集就是给定 c 的实部、虚部后所得的结果，而 Mandelbrot 集则是限定 z 的实部和虚部均为 0 后的结果。大家可能想到，任意限定其中两个参数，把另外两个参数当作变量，我们还能得到很多不同的图形。事实上，如果把所有不同的 Julia 集重合起来，我们将会得到一个四维图形，它的其中两个维度是不同的初始值 z 构成的复平面，另外两个维度则是不同的常数 c 构成的复平面。这个四维空间就包含了所有不同的初始值在所有不同的常数 c 之下迭代的发散情况。而 Mandelbrot 集，则是这个四维图形在 c = 0 处的一个切片，并且是最具有概括力的一个切片。

    因此，我们相当于有了 Mandelbrot 集的一个四维扩展，从这个四维图形中，我们可以切出很多二维的或者三维的切片，得到更多惊人而漂亮的图形。Mandelbrot 集还有另外一种高维扩展，即用四元数 a + b i + c j + d k 来代替复数，从而得到另一种四维 Mandelbrot 集。可惜，这些扩展都是四维的，我们只能从它们的切片中获取三维图形。要想欣赏真正的三维版 Mandelbrot 集，我们还得想想别的方法。数学家们创造了很多漂亮的三维版 Mandelbrot 集，不过它们的定义有些生硬，并不自然。另外还有一个叫做 Multibrot 集的东西，它就是把 Mandelbrot 集产生规则中的 z² 一般化，用 zⁿ 代替。随着 n 的连续变化， Multibrot 集也会连续地变化。如果把不同 n 所对应的 Multibrot 集重叠在一起，我们就会得到一个三维图形（如下图， n 从 1 取到 5 ）。这也勉强算得上是 Mandelbrot 的三维扩展吧。

      

    Gaston Julia 和 Benoît B. Mandelbrot 两人的研究并未就此结束，这一系列研究直接导致了复动力学（complex dynamics）这一新学科的诞生。如果大家对这个感兴趣的话，不妨从 Wikipedia 相关页面的 references 出发，深入阅读下去。