你认为是否有可能存在这样一个函数f：在平面上随便画一个圆，圆里面总能够找到函数图像上的一个点？继续看下去前，不妨先仔细思考一下。
为了说明任一圆内都包含函数上的点，我们只需要说明对于平面上任意给定点(x,y)，对于任意小的d都能在函数上找到一点，使得其横坐标落在x±d的范围内且纵坐标落在y±d内。这样的话，任意给出一个圆后，我都能保证圆的内接正方形里有点。
我们构造这个函数f的基本思路是，构造一个将全体有理数映射到全体有理数的函数。注意到有理数是可数的，我们可以用这里的方法将全体有理数和自然数建立一一对应关系。也就是说，我们有了一个定义域为全体自然数、值域为全体有理数的一对一函数R(x)，它所对应的函数值是第x个有理数。下面我们开始着手定义我们要求的函数f(x)。函数f(x)的定义域是全体有理数，定义域里的每个x都可以表示成n/m的形式（化到最简），于是我们可以令f(x)=f(n/m)=R(m)。对于任意的y和d，在y±d里肯定存在一个有理数，假如按照上面的对应来看它是第m个有理数（即R(m)），下面我们就想办法说明我们总能够找到一个n，使得n/m在x±d的范围内。当然，如果运气不好m值很小的话我们就挂了，我们很自然地想到，这个m值应该越大越好，最好能重新定义一个值域为全体有理数的函数，对任一给定的有理数我们都能找出任意大的m对应到它。然后我们想到定义一个多对一的、定义域和值域都是自然数的函数H(x)：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
H(x) 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 …
重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(m))，这样的话任意给定一个有理数，我们可以找到任意大的m使得R(H(m))等于这个有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现一个整数n，则此时n/m在x±d的范围内。
但我们又遇到一个问题：要是找到的那个n始终不能和m互质（表明没化到最简）咋办？我的直觉是，这种极端的情况应该是不存在的，当m充分大时，总有一个满足要求的n/m出现。但我没有严格证明它。其实，我根本不需要去证明它；这个题目有趣就有趣在，我这个函数f是可以随便构造的。你或许在想，要是分母m为质数就好了。那好，我就可以强迫分母m为质数。定义一个定义域为全体质数，值域为全体正整数的函数P(x)，它表示x是第几个质数：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
P(x) – 1 2 – 3 – 4 – – – 5 – 6 – – …
重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(P(m)))，现在我们能够找到任意大的质数m使得R(H(P(m)))等于指定的有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现两个相邻的整数p和q，由于m是质数，p和q之间总有一个数与m互质（不可能都是m的整倍数），我们需要的n也就找到了。
满足要求的函数有很多。这只是其中一种构造方法。大家能不能再想一些更有趣的构造来？
来源：http://www.douban.com/group/topic/2561708/
参考网友yushih的解答
最近重新整理了日志Tag。如果你喜欢这篇文章，不要错过这里的惊奇数学事实，你会看到更多难以置信的数学结论。
我们构造这个函数f的基本思路是，构造一个将全体有理数映射到全体有理数的函数。
这句话有错=.=…应该是全体自然数映射到全体有理数
不过…这篇文章后面没怎么看懂…
P.S.我是沙发?
回复：对的，“全体有理数映射到全体有理数”指的是函数f
回ls~~~~您是沙发~~~~
所以偶系板凳~~~~^_^
我觉得如果是平时做题的话可以简化：
这道题只需证明f的像集为稠密集即可。
由集合论知识，有理数集和平面里的有理数对集是等势的，这之间必有一个一一映射（映射的具体形式一般集合论的书上有），令这个函数为f即可，由于平面里的有理数对集是稠密的，f就满足题目要求。
39字推翻百年集论
黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
摘要 仅用39个字符就推翻了百年无穷集论。
关键词 推翻一系列数学定理；百年集合论；重大错误：将部分误为全部
1 G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元素a
两无穷数集A与B=A∪｛a｝≠A是否分别包含同样多（个）元素？规定一个数只能“拉”一个数，A的各数x均将B内与己相同的数y=x“拉”出来，于是B的一部分：A的元素全都给“拉”出来后，A内就再也无数将a“拉”出来了。为什么？原因一目了然：B比A多包含了一个元素a。关键是A的各数x均有与己相同的对应数x=y∈B。总之，若A的所有元x与B的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明B至少比A多含一个元素。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。故两集不对等就更谈不上相等。
真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。
稍有一点头脑的人也一教就明的百年重大错误
黄小宁 通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
研究2无穷集是否分别包含同样多（个）元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个C所没有的数a。
P＝｛0，1，2｝
Q =｛0，1，2｝∪｛3｝由两部分组成，显然其第2部分｛3｝有多少个元，Q就比P～P多多少个元。关键是对上、下两集作比较，立刻就能…。同样——
奇数集A：1，3，5，…，2n-1，… （A的元素可排为一数列）
偶数集B：2，4，6，…，2n，… （ B的各元２n的对应数n的全体组成集合C）
B～C：1，2，3，…，n，…
显然A～B～C。问题是N=A∪B ～A吗？N=A∪B = C吗？
A＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝
N=A∪B＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝∪｛2，4，6，…，2n，…｝，显然N的第2部分B有多少个元，N就比A～A多多少个元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
关键是上A的各数2n-1都有对应数2n-1∈下A——N的第1部分，若上A内有数再与N的第2部分B的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。
同样B～A也根本不可～N！
B～C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝（C的第2部分是空集）
在N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝中，第2部分A有多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
见到SB留言留名。
回复：hxl发完各大论坛后，居然能找到我这里来，我心里还是挺高兴的
“精确”的百年极限论是自相矛盾的理论的原因
黄小宁
（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
数列A：0.1，0.01，0.00 1，…，1／10n（n是指数，以下同），…（n项必 十倍于n＋1项）
数列B：10,100,1000,…, 10n,…(充分后的项都>“任意给定”的正数ε)
数列C：0.9，0.99，0.999，…，1－1／10n，…（n项必 < n＋1项）
数列A的各项均为正数且第n项是n位小数，各项都有末尾且末尾都是1，各末尾外的数字都是0。由于这是各项均为具体、确定的数的无穷数列，故其中必有无穷多各大小不同的形如（变量1／10n =y→0表示其从某时刻起以后所取各正数y均＜“任意给定”的正数ε）
0.00…01＜ε（1与小数点相隔写不完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样。）
的无穷多个小数位的用而不知的无穷小正数（其倒数100…00是无穷多个1的和：用而不知的无穷大自然数或超自然数）。然而这却是有头有尾的一串数字。不明此理者不知何为无穷数列、何为极限论（极限论断定“无穷小数列”A中从某项起以后各项均是＜ε的正数。然而极限论又断定“定量中只有0才是无穷小”，这暗含此意：任何正数都不能 <ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数，有的书本直接断定：没有0的！
y→b是说y与b趋于重合相等。实变数y只能与实数而不能与非实数的猫狗趋于重合相等，同样，各项都是固定数的固定数列C本身不是变数，与1没有距离关系如何能与非数列的1趋于重合相等？
形成鲜明对比的是各项都是变数的随x的不同而不同的函数列
{n+（1/nx）}→不变化的{n}（x→∞时）。
“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[1]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。数学5千年来一直不识用而不知的无穷大自然数等使极限论是自相矛盾的学说。
参考文献
[1]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[2]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[3]黄小宁，再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误，教育前沿[J]，2007（12）：110。
Conway base 13 function 也是满足条件的函数，甚至满足在任意小圆内包含不可数个函数上的点
楼主的构造太复杂啦～
其实有个很简单的构造：f(mp^a/nq^b)=m/n
其中，mp^a/nq^b是最简分数，p、q分别是分子、分母中最大的素因子
证明就从略啦～
更简单的解法是：（考虑第一象限即可）
f((mp)/(nq))=m/n
其中(mp)/(nq)是最简分数，p、q分别为分子、分母的最大素因子。
不要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。