偶然瞥见一道很妙的题目：已知三个锐角 α 、 β 、 γ 的和为 90°，求证：sinα + sinβ + sinγ > 1
这个问题的证明方法有很多，不过大家一定会喜欢下面这个证明：
作一个半径为 1 的 90° 扇形，于是图中 α + β + γ = 90° 。注意到 △ABM 的面积可以写成 (1/2) · AB · AM · sinα = sinα / 2，类似地 △AMN 、 △ANC 的面积分别为 sinβ / 2 和 sinγ / 2 ，但他们的面积之和显然大于 △ABC。于是，sinα / 2 + sinβ / 2 + sinγ / 2 > 1/2，即 sinα + sinβ + sinγ > 1 。
这个问题来源于张景中的《数学家的眼光》。
深夜更新辛苦了0 0
大牛这么晚还更新。
这么晚了还来抢沙发板凳……真辛苦……
也证明了正弦之和严格小于 pi/2。
用 Jensen’s Inequality 一步可得结果
被墙了?
嗯，很直观。
@地下室 Jensen这题不能用。
已阅 谢谢博主
有证特殊极限的那个味道
证法二:
a+b+c=90deg –> 2a+2b+2c=180deg
单位圆O, 圆上点A,B,C,D (直径AD)
AOB=2a BOC=2b COD=2c (角AOB,BOC,COD)
则
AB=2 sin a
BC=2 sin b
CD=2 sin c
AB+BC+CD=2(sin a+sin b+sin c) > AD=2
是故sin a + sin b + sin c = 1
QED
11楼
打错字了
sin a + sin b + sin c > 1
我看到这个问题 第一想法就是这个证明
sinα + sinβ + sinγ > sinα * cosβ + cosα * sinβ + sinγ = sin(α + β) + sinγ > sin(α + β)*cosγ + cos(α + β)*sinγ = sin(α + β + γ) = 1
原来这本书LZ也有，不知是不是一套
哈！这是一个我这高中生也能看懂的证明！这本书我也有~~初中年代粉喜欢张景中先生的
嗯喜欢这样的数学
you rock~
太强悍了
这个你们会做吗 我要考虑下
恩 好像是这样的
sinα + sinβ + sinγ > sinα * cosβ + cosα * sinβ + sinγ = sin(α + β) + sinγ > sin(α + β)*cosγ + cos(α + β)*sinγ = sin(α + β + γ) = 1
更强的结论:和相同的一组角，角数越多，正弦值的和越大