今天听说了 Fitch 可知性悖论，在这里给大家讲一讲。这是由美国逻辑学家 Frederic Fitch 在 1963 年的一篇论文中提出来的。在这篇论文中， Fitch 利用严密的数理逻辑得出了一个看上去很不可思议的结论：假设所有知识都是人类有可能掌握的，那么所有知识都已经被人类掌握了。
为了表达“能掌握的知识”这一概念，我们需要用到模态逻辑。模态逻辑中允许出现这样一种情况：一个命题是假的，但是它有可能是真的。比方说，命题“一加一等于三”是假的，而且它不可能是真的；命题“朝鲜在 2010 年世界杯中获得冠军”是假的，但它却有可能是真的。这两种情况的区别可以从平行宇宙的角度来解释。前者可以在逻辑上被推翻，在任何一个平行宇宙中都不成立；后者虽然在我们的世界中是假的，但却不排除在其它世界中为真的可能。在模态逻辑中，“明天可能会下雨”也能成为一个合法的命题。
下面，我们用 K(φ) 表示人类已经知道了 φ 为真（也就是说 φ 在人类的知识库中）。因而， ¬K(φ) 就表示人类不知道 φ 。再用 P(φ) 表示 φ 有可能为真（在至少一个平行宇宙中成立）。因而， ¬P(φ) 就表示 φ 不可能为真，P(K(φ)) 就表示人类有可能知道 φ 为真。我们作出以下四个假设：
A. K(φ) → φ ，如果我们知道 φ 为真，则 φ 为真。即所有已经知道的都是真理。
B. K(φ ∧ ψ) → (K(φ) ∧ K(ψ)) ，即如果已知 φ 和 ψ ，则已知 φ ，并且已知 ψ 。
C. φ → P(K(φ)) ，如果 φ 为真，则我们有可能知道 φ 为真。即所有真理都是有可能被知道的（这是整个悖论的核心假设）。
D. 如果我们证明了 ¬φ ，就可得 ¬P(φ) 。即如果我们能从逻辑上证明出 φ 不成立，由于这番推理适用于任意一个平行宇宙，因此 φ 就没有成立的可能了。
上面四个假设看上去都没啥问题。不过，这些假设却有一个看上去十分荒唐的推论：所有真理都是我们已经知道的了：
| (1) | 假设 K(φ ∧ ¬K(φ)) | 假设我们知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理 | |
| (2) | K(φ) ∧ K(¬K(φ)) | (1) + 公理 B | 我们知道 φ ，并且我们知道我们不知道 φ |
| (3) | K(φ) | (2) + ∧消去律 | 我们知道 φ |
| (4) | K(¬K(φ)) | (2) + ∧消去律 | 我们知道我们不知道 φ |
| (5) | ¬K(φ) | (4) + 公理 A | 我们不知道 φ |
| (6) | ¬K(φ ∧ ¬K(φ)) | (3)(5)矛盾，假设不成立 | 我们不知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理 |
| (7) | ¬P(K(φ ∧ ¬K(φ))) | (6) + 规则 D | 我们不可能知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理 |
| (8) | 假设 φ ∧ ¬K(φ) | 假设 φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理 | |
| (9) | P(K(φ ∧ ¬K(φ))) | (8) + 公理 C | 我们有可能知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理 |
| (10) | ¬(φ ∧ ¬K(φ)) | (7)(9)矛盾，假设不成立 | φ 是一个真理，我们不知道这个真理，两者不同时成立 |
| (11) | ¬φ ∨ K(φ) | (10) + De Morgan 律 | φ 不是真理，或者我们知道 φ |
| (12) | φ → K(φ) | (11) + 蕴含等值式 | 所有真理 φ 都是我们已经知道的 |
然后呢？要么承认，人类是全知全能的；要么承认，假设 C 不成立，有些知识是不可能为人所知的。当然，也有人指出， Fitch 的推理存在一些很隐蔽的问题，比如假设 C 的式子并不能理解为“所有知识都可知”。你选择哪一派？
沙发 前排膜拜
倾向有隐蔽逻辑错误
Orz!!!!!!!!!!!!
我觉得是“所有知识都可知“改成“所有知识都至少能被一个平行世界中的我们所知道“
任何真理都在某个平行世界被人类认知
能证明我们已经了解所有真理了么？
逆否命题是没有被人类掌握的知识永远不可能被人类掌握？
不符合历史发展现实啊
关于第一个假设，我有疑问：
A. K(φ) → φ ，即所有已知的知识都是真理。
什么叫已知呢，就是说在我们的平行宇宙是对的且被发现了么？
如果φ在我们的平行宇宙是对的，并且已知，在别的平行宇宙不对，那φ不就不是真理？
另外考虑：
假设 K(φ ∧ ¬K(φ))
由 A 得 φ ∧ ¬K(φ)
于是 φ 和 ¬K(φ) 都为真
再由（12）得 K(φ) 为真
于是 K(φ) 和 ¬K(φ) 都为真
这不是明显有问题么
我觉得公理C有问题。不过它不成立并不代表“有些知识是不可能为人所知的”。不可能为人所知的事情是“φ是一个真理，并且我们不知道这个真理”，因为我们一旦知道了前一半（φ），我们就不可能知道后一半（我们不知道φ）了。但是这种事情我们在日常生活中并不把它称为“知识”。
第一条假设就是错误的。A. K(φ) → φ ，即所有已知的知识都是真理。已知的知识是有可能在将来的某一天被证明是错误的。
第一句就有问题吧?
假设 K(φ ∧ ¬K(φ))? 前半截的K(φ)的意思并不是后面所说的”φ是一个真理”,而是”我们知道φ”+”φ是一个真理”,与后面的”并且我们不知道这个真理”是矛盾的
感觉上更像诡辩而不是悖论
“我们”是指所有平行宇宙的人类的叠加？
我认为假设D是错误的
只使用命题D,可以得到
¬Kφ → ¬PKφ
Kφ ∨ ¬PKφ
PKφ → Kφ
结果也可以说是一个悖论, 如果人类有可能知道φ,则人类已经知道φ
另外, 对于地壳的疑问, 每次假设的φ都是不同的φ, 如果用角标标出来就不会有疑问了
(1) 假设 K(φ1 ∧ ¬K(φ1))
(2) K(φ1) ∧ K(¬K(φ1))
(3) K(φ1)
(4) K(¬K(φ1))
(5) ¬K(φ1)
(6) ¬K(φ1 ∧ ¬K(φ1))
(7) ¬P(K(φ1 ∧ ¬K(φ1)))
(8) 假设 φ2 ∧ ¬K(φ2)
(9) P(K(φ2 ∧ ¬K(φ2)))
(10) ¬(φ2 ∧ ¬K(φ2))
(11) ¬φ2 ∨ K(φ2)
(12) φ2 → K(φ2)
能被认知自然有平行世界了解
P(人们了解所有可被认知的知识)是真的阿
但只是有真的可能性罢了
时间无限，空间无限，人注定是很渺小的。
假设（1）就不成立啊，因为它自相矛盾了。
http://www.letscorp.net/
假设中的问题：
1. 我们知道φ为真，φ就为真吗？ 人类目前的知识体系都是正确的吗？
2. 所有真理都是可知的吗？不确定原理怎么解释？
“知道”这个词很含糊，没有精确的定义，不能作为严格推理的元素。“知道φ”和“知道φ为真”是不是同一个意思？
推理的起点K(φ ∧ ¬K(φ))也很可疑，一是为什么要在外面加个K？二是读一读后面的中文，“假设我们知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理”这句话本身已经是一个矛盾了。
这个悖论不过是推出了在所有的平行宇宙中人类已经掌握了所有的知识。如果要用这个说明问题，就必须先说明平行宇宙的性质——至少应该证明不同宇宙之间的时间耦合特性，以及平行宇宙数量的可数性问题。
“我们知道φ为真，φ就为真吗？”
就我所知，大部分英美哲学家同意”知识蕴含真理”。意思是说，当一个人说”我知道φ”的时候，如果他这句话是真的，那φ就一定也要为真才行。举例来说，没有人可以毫无矛盾的宣称”我知道地球是方的”，因为实际上地球是圆的。
当然，一个人可以毫无矛盾的宣称”我相信地球是方的”，只要他真的这样相信。但光是相信还不足以让命题成为知识，还需要一些其他的条件。这个问题在哲学家之间已经讨论很久了仍没有定论，但起码”知识蕴含真理”是许多人同意的。
C. φ → P(K(φ)) ，如果 φ 为真，则我们有可能知道 φ 为真。即所有真理都是有可能被知道的（这是整个悖论的核心假设）。
哥德尔不完备定理。。。
我倾向于所有知识都是可认知的，但是存在不可确认认知的知识
因为世界的分辨率有限
主要问题应该在，“我们知道”的定义，不同世界里的“我们”也不一样，所以没法P(K(K))
把P改成∃x，K(*)改成K(x,*)大概会清楚点，再定义一个w表示我们
P(K(¬K(φ)))至少可以有两种解释：
1.∃x.K(x,¬K(x,φ))
2.∃x.K(x,¬K(w,φ))
看看推导过程，第(7)步规则D用的是1，第(9)步公理C用的是2，于是出问题了。
应该说推导过程没错，但是上面的公理的实际含义不符合字面上的解释。
突然发现你是个偏执狂 好像随时要走火入魔
规则D应该说明一下，是在没有引用观察到的现象（比如朝鲜是否获得冠军）的情况下，前面那一段可能误导人了
真理也应该是指本世界的真理
当然说太清楚可能这篇文章就没啥意义了。。。
另外“即所有真理都是有可能被知道的”这假设确实不对，只是这个证明过程中没用到比如停机问题那样的方法
话说，现在网上的oi社区衰落成这样，m67是否有一些什么感触？
还有maigo牛
求解释第一句话：什么叫做“我们知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理”？
类似上面的定义，φ的命题，找一个具象化的例子，比如说“明天会下雨”。
那么这句话变成了：“我们知道，明天会下雨是一个真理，并且我们不知道明天会下雨。”
……这句话本身是不是就有点问题？
也就是说，第一句应该是K(P(φ)^¬K(φ))。
不管怎么样，这个悖论正好反衬出并不是所有知识都是人类所能掌握的。
K(a)是否是一个命题呢？这个我们知道具有时限性
所以K(a)->﹁P(K(a))这个有问题。。。
K(a)是否是一个命题呢？这个我们知道具有时限性
所以﹁K(a)->﹁P(K(a))这个有问题。。。
(7)(9)矛盾推出的是 ¬( (1) ∧（8） ）,即(1)(8) 不能同时为真。而不是 ¬(8)
最后化简后，是 ¬(φ∧K(φ)∧¬K(φ)∧（K(¬K(φ))）===== true
没有任何意义。
原来其实只是说 (1) => (12)，
再解读(1)，，，K(φ ∧ ¬K(φ)) 用公理A = φ ∧ ¬K(φ) = φ ∧ ¬(φ) = false
就是说，假设(1)本身就不可能存在。如果有公理1的话。其实公理1是说，人类认为正确的就是正确的。。。。
关于这个悖论的解释，在Section 3 http://plato.stanford.edu/entries/fitch-paradox/有很多。个人觉得LZ不应该用直观含义来解释逻辑语言，误导性太强。
orz
本来就是因果问题
注意这点：人类的知识是不是有限的本身是不可证明的。
@27楼：好久没上oi论坛了…只知道大榕树没了…
问题其实在于，人类掌握知识并不是简单的累加那么简单，而是更像是反编译一个不知道源代码语言的程序。用某种模型去近似这个世界，就像是把这种程序用某种人类已知的语言来反编译，但只要编写这个世界的那套“上帝语言”还不被人类掌握，则这种反编译就绝不可能是精确的。任何一个新的知识的获取只有把旧有的全部知识全部毁掉。新知识和旧知识是处于不相容的集合的。物理学革命还好些，至少旧知识可以继承，而例如中医和西医的不相容，问题就更显著。
这个悖论果然很有意思，想了好久，终于一点点地看清它的诡计了。。。
以下是我的看法，应该是挺有说服力的。。。
首先，我同意ABCD四个结论。
问题关键是，知道这个词是具有时间属性的，不妨用知道(T)表示在时刻T开始知道,
而公理C:φ→ P(K(φ)) ，如果φ为真，则存在一个T，使得我们有可能知道(T)φ为真
然后用这个记法重写几个命题:
(1) 假设 K(φ∧¬K(φ)) 假设我们知道(t1)， φ是一个真理，并且我们不知道(t2)这个真理
(2) K(φ)∧K(¬K(φ)) (1)+公理 B 我们知道(t1) φ ，并且我们知道(t1)我们不知道(t2)φ
(3) K(φ) (2)+∧消去律 我们知道(t1) φ
(4) K(¬K(φ)) (2)+∧消去律 我们知道(t1)我们不知道(t2)φ
(5) ¬K(φ) (4)+公理 A 我们不知道(t2) φ
当t1>t2时,(3)和(5)并不矛盾!!!
就是说我们t1时不知道φ,到t2时知道了!!
要得出矛盾,只有t1<=t2，即我们不可能今天知道φ，明天反而不知道φ了!
当t1<=t2时,
6) ¬K(φ∧¬K(φ)) (3)(5)矛盾，假设不成立 , 我们不知道(t1)，φ是一个真理，并且我们不知道(t2)这个真理
(7) ¬P(K(φ∧¬K(φ))) (6) + 规则 D 我们不可能知道(t1),φ是一个真理，并且我们不知道(t2)这个真理
(8) 假设 φ∧¬K(φ) 假设 φ 是一个真理，并且我们不知道(t2)这个真理
(9) P(K(φ∧¬K(φ))) (8) + 公理 C 存在一个T，我们有可能知道(T),φ是一个真理，并且我们不知道(t2)这个真理
(7)和(9)没矛盾!!事实上,对于任意固定的t2,都存在一个T,(9)是恒成立的,下面的就不用看了….
我觉得这是推导过程证明了“真理都在我们可理解的范围之内”这个命题，这个证明是用数理逻辑将黑格尔的“存在的就是合乎理性的，能够被理性所把握的就是存在的”严格的推导了一遍。
关键是如果一个知识本身我们不知道,但是能用我们知道的知识推理出来,这算我们知道这个知识吗?这才是关键好吧…
我觉得有问题。
命题“朝鲜在 2010 年世界杯中获得冠军”是假的，为什么？
没有发生的事情为什么要判断它是假的。这样的逻辑有问题。
即使在他的理论中是假的也要加个附属条件“现在是假的”吧。
逻辑推理省略时间属性，是很容易产生悖论的。
假设我们知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理
这是什么情况？
C的假设是在所有平行宇宙中定义的
这一定义在推论过程中被“压扁”了。
看看自己的楼层
倒,真的没有42?
38楼说得有点道理
呵呵 知道怎么解答这道题了。
知道的含义是模糊的，正如38楼的尝试。“知道”可以认为是“现在知道”，也可以指“我们可以知道”。所以命题可以改为对“真理是否可知”问题的探讨
或许真的有的知识我们永远无法知道，比如chaitin常数和π的精确值。。。
即所有真理都是有可能被知道的”这假设确实不对，只是这个证明过程中没用到比如停机问题那样的方法
我觉得第(6)步有问题，它应该是：
~K(a)^~K(~K(a))
问题出在第一步的假设 K(φ ∧ ¬K(φ))「我们知道， φ 是一个真理，并且我们不知道这个真理」，自然语言和公式对不上。应当是 φ ∧ ¬K(φ)，即「φ 是一个真理，但我们不知道这个真理」。否则，我们怎么可能在知道 φ 是真理的同时又不知道这个真理呢？