另类称球趣题：验证砝码所标克数的正确性

    有六个砝码，它们的重量分别是 1 克、 2 克、 3 克、 4 克、 5 克、 6 克。每个砝码上都标有这个砝码的重量，但由于生产过程中的疏忽，重量有可能被标错了。请你用天平称两次，来检验这些砝码所标克数是否完全正确。

    Update: 实际克数和所标克数都是 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 ，“标错”就是指它们的对应关系是错的。称砝码的目的只是检验所标克数的正确性，如果不正确，不用找出问题出在哪些砝码上。
 
 
    答案：先把标有 1 、 2 、 3 的砝码放在天平左边，把 6 放在天平右边。注意到，如果其中三个砝码的重量之和等于另一个砝码的重量，则 1 + 2 + 3 = 6 是唯一的情况。因此，假如天平平衡，那么天平左边一定就是 1 克、 2 克、 3 克的砝码，天平右边就一定是 6 克的砝码。

    但是，这只能说明， 6 克的砝码是标对了的。我们仍然不排除 1 、 2 、 3 这三个砝码之间标混了的情况，同时也不能排除 4 、 5 两个砝码标反的情况。接下来该怎么办呢？

 

 

    下一步——很难想到——是把 3 、 5 两个砝码放在天平左边， 1 、 6 两个砝码放在天平右边。如果左边比右边重，即可说明所有的砝码都标对了。这是因为，如果在 {1, 2, 3} 和 {4, 5} 中各挑一个放在一起，再在 {1, 2, 3} 里挑一个和 6 放在一起，结果前者比后者更重，那么 3 + 5 > 1 + 6 是唯一的解。这就表明， 1 、 3 、 5 这三个砝码都是标对了的。因此，余下的 2 和 4 就都标对了。

    问题来源：http://www.cut-the-knot.org/blue/6MisnamedCoins.shtml

    这是 1991 年莫斯科数学竞赛的一个问题。 Max Alekseyev 给出了这个问题的另一个答案： 1 + 2 + 5 < 3 + 6 ， 1 + 3 < 5 。其正确性基于下面这一事实：满足 a + b + c < d + e 且 a + d < c 的只有上述这一个解。 Tanya Khovanova 和 Joel Lewis 对这个问题进行了扩展，有兴趣的读者可以看看这篇论文。

32 条评论

发表评论




Enter Captcha Here :