公式 h = (1/2)·g·t^2 里， t 头上的平方并不奇怪。显然，物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的，高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位，是米除以平方秒的形式；为了得出一个以长度为单位的结果，我们必须要消除分母位置上的“平方秒”，因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。
类似地， E = m·c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米，牛本身又是千克乘以米每平方秒，刨根到底能量的单位就该是 千克·(米^2)/(秒^2) ，正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。
在数学中，量纲法也是无处不在。 n 维球的体积公式一定是半径的 n 次方乘以一个系数， Heron 公式 A = √s(s – a)(s – b)(s – c) 看似复杂的外表下也遵循着量纲这一金科玉律。给定 n 个数，我们有多种定义其平均数的方案，包括所有数之和的 n 分之一（算术平均数），所有数乘积的 n 次方根（几何平均数），所有数的倒数和的倒数的 n 倍（调和平均数），所有数的平方和的 n 分之一的平方根（均方根），等等。由于一组数的平均值的量纲应该和这些数本身的量纲保持一致，因此在各种平均数的公式里，平方了就要开回去，取倒了还得倒回来，全乘在一起就得开 n 次方，这样才能得到同样类型的数。
自从在《怎样解题》里看到了量纲法，在学习和讲解数理知识时我便特别留意量纲，慢慢总结出上面这些用于说明量纲规律的经典例子。今天，我又看到了一个把量纲用得神乎其技的经典例子，在这里和大家分享。
在微积分里，下面这个公式是一个相当帅气的结论：
它的推导过程也非常帅，大家可以在这里欣赏到。
不过这并不是这篇文章的重点。我们的问题是，下面这个定积分等于多少？
或者一般地，下面这个定积分等于多少？
毫无疑问，随着 α 值的变化，定积分的结果也会随之变化。我们关心的是，这个结果究竟会随着 α 怎样变？这个式子是对 x 进行积分，我们不妨假设 x 是一个表示长度的量，它的单位是米。首先，指数表示“多少个底数相乘”，应该是一个数，是不会有单位的。也就是说，指数 -α·x^2 应该是无量纲的。但 α 后面乘了一个 x^2 ，因此 α 本身的量纲就应该是 1/(米^2) 。由于底数 e 是一个没有单位的常数，因此连续的 e 相乘也是没有单位的； dx 是 x 变化一点点的量，它的量纲和 x 一致，也是米；因而， e^(-2x^2) dx 的单位也就是米了。而对这些以长度为单位的量进行求和，得到的结果也只能是“多少多少米”的形式。也就是说，整个定积分应该会得到一个以米为单位的量。
同时，定积分的结果也是一个关于 α 的函数。但是， α 是一个以 1/(米^2) 为单位的量，怎样才能把它变成一个以米为单位的量呢？答案就是， α 必然要以 1/√α 的形式出现在定积分的结果中。也就是说，整个定积分就是 1/√α 乘上一个系数。至于这个系数究竟是多少，前面的公式已经给了我们充分的条件了：当 α = 1 时，定积分的值是 √π （也即 √π/√α ），也就是说这个系数就是 √π 。因此，结论就是：
注意到，我们完全用量纲法，推导出了一个定积分运算结果的形式！
神奇……
真理是和谐统一的…
这个有点扯，凑巧而已吧，试了一下∫e^(ax)dx 从0到1 就不对嘛。
地毯你看文章了吗…
地毯，是对的吧…
量纲有点像是将“虚无缥缈”的数学跟实际生活连接了起来，把一些抽象的东西拉近到我们身边……
最后一题其实可以直接构造一个实际问题出来阐述？
嘿嘿，记得我在高中的时候也喜欢玩量纲！
这个叫变量代换~~~~
换一下出来一个Jacobian 就是你的量纲分析出来的东西
高中经常用量纲法检查物理题目的答案：
左边是时间，右面也要是时间。
– -不过不知道那叫“量纲法”，个人命名为“单位检查法”。。。
偶尔也用量纲法+极限法蒙题。。。
话说M牛选择的这个给力的Gamma函数模型最近快把我逼疯了- –
求教为什么Gamma(n+1/2)/Gamma(n)和sqrt(n)是同级的- -？
Nice! Finally find sth I can understand~
matrix老兄，既然说道量纲法就一定要看超星学术讲座的这个，《日常生活中的量子物理学》http://www.ssvideo.cn/videoinfo.asp?id=1233，用量钢分析估算声速，地球上山的高度，热胀冷缩，烤火鸡的时间
10L：(n-1/2)!就是(n-1)!乘以半个n-1/2到n之间的数
推复杂度一般也可以用stiring公式，然后显然
M显然没学好偏理科的东西，量纲这玩意儿是拿没量纲的东西没办法滴。我是说常系数。在这篇文章里，你的量纲是对了，可是系数对不对呢？这是量纲无法证明的东西。
有一种我想到过/学到过的东西，这里一定会有的感觉。。
最近学了各种平均数。。就出现了。
原来这货叫量纲法！俺几个星期前还给新童鞋科普这种YY产物，因为那时候在学波什么的，太白痴了背不出公式，波这种东西就算图像来处理也很麻烦，计算就纠结了，这地方又不流行写单位，就抱怨了一下顺便提到了。。
不过“当 α = 1 时，定积分的值是 √π （也即 √π/√α ），也就是说这个系数就是 √π 。”
直觉有点不严谨。。
嗯嗯~确实是可行的! 而关于物理上的量纲,有一个东西我很郁闷。就是时间也用T表示,温度也用T表示,结果造成了比热容这个物理量的量纲经常在各种书籍中混乱着…
好复杂。。。直接换个元√α x不就完事了。。。
@17楼，其实量纲法本质上就是换元法，把x换成yz，其中z改个名叫“米”而已。
我觉得既严谨又神奇啊！
我很赞成用量纲法检验和毛估答案。但感觉那个积分推导好像很牵强。
M这个博客开到现在基本上没什么意思了
非常神奇的推导！
当年常常用量纲来验证自己记忆的公式是否正确：如果公式两边各个变量的量纲的计算结果相同，通常我记忆的公式就是正确的……
用过这种方法。。检验各种复杂推导必备啊。。
好像MIT物理开放课上那个教授第一节就讲了这个，确实很神奇。对了，页面上能插入个sns share按钮吗？
很简单的道理啊，被说的太玄了，就是做一个变换 x–>ax 由于 +/-inf scale 一下不变，所以算一下就知道了
楼主的例子可以归为几点来说：
1、假设x是物理量。物理量作为积分变量在物理应用上是普遍的。为了表述方便，设她的数值为 |x|，单位为 X，x=|x|X。
2、指数只能是纯数字，因此a也只能是一个物理量，单位是 1/X^2，只有这样才能把 x所带的单位抵消掉。
3、积分号的作用是累加，不会影响单位，因此积分结果的单位就是北极表达式的单位。前面说过了，指数是纯数字，底数e是纯数字，dx单位同x，因此最后结果的单位也是跟x相同。
4、数学上的规则使得最后结果不含x。因此只能以a来表达，所以跟 1/跟号a 成正比。
5，代入一个数值，求出系数。
LZ的表述看得我很蛋疼。
雖然因次分析看來是很基礎，但這對物理研究而言是超級重要的分析原則，很多高超的物理學家都是很依賴因次分析，他們有時候不用算太多，單純用因次分析就有很重要的結果了
LS说博主理科没学好的，你是把理科给学shi了没有领会到量纲法的妙处
LS说量纲法就是变量替换的，那就是根本没理解了
量纲法可以说是物理母空间和数学数空间保持和谐性的结果
我们高中老师就比较系统地教了这个方法，在批改我们做的题目的时候，看几眼就说单位不对！
相当不严谨啊，第一类换元碰巧作对了而已
碰巧d(√a x)=√a dx
但是对于物理学来说量纲法的重要性不言而喻。
是不是有点算子的味道
真的很不错呀！
确实是可行的! 而关于物理上的量纲,有一个东西我很郁闷。就是时间也用T表示,温度也用T表示,结果造成了比热容这个物理量的量纲经常在各种书籍中混乱着…
严重觉得不对 同意32楼
，你可以先知先觉地领导产业，后知后觉地苦苦追赶，或不知不觉地被淘汰