今天听说了一个非常有趣的思想实验——超级游戏（ Hypergame ，暂且让我翻译成“超级游戏”吧）。首先，如果一个游戏能在有限步之内分出胜负，我们就把它叫做“有限游戏”。注意，一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。虽然每一步的决策无穷多，但只要能在有限步内结束游戏，我们都把它叫做有限游戏。举个例子，玩家 1 和玩家 2 游戏，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后立即获胜。这个游戏的决策有无穷多，但它显然是有限游戏。另外，一个有限游戏的总步数甚至也可以没有上限。比如说，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后玩家 2 说 N – 1 ，玩家 1 说 N – 2 ，以此类推，两人轮流倒数，谁数到 0 谁就获胜。结束这个游戏所需要的步数可以是任意多，但只要是有限的，我们都把它叫做有限游戏。
下面，我们来看这个叫做“超级游戏”的游戏。在超级游戏中，首先，玩家 1 指定一个有限游戏，然后玩家 2 作为这个有限游戏的先行者与玩家 1 对弈。谁赢得了这个有限游戏，也就是这局超级游戏的获胜者。
这个异想天开的游戏可以说是一下子打开了我们的思路，很多再正常不过的事情此时都变得有争议了。比如说，超级游戏的决策树是什么样子的？超级游戏算是组合游戏吗？甚至是问，超级游戏本身是一个有限游戏吗？
有人或许会说，超级游戏当然算有限游戏，虽然玩家 1 的决策（挑选一个有限游戏）有无穷多种，但是一旦游戏一确定，第一步过去了，整个游戏的有限性就很显然了。且慢。由于超级游戏本身也是一个有限游戏，因此玩家 1 有一个很奇异的合法决策：“让我们来玩⋯⋯来玩超级游戏吧！”按照规则，此时就应该由玩家 2 在玩家 1 提出的这个游戏中扮演先行者。而这个游戏本身又是一个超级游戏，因此玩家 2 也需要提出一个有限游戏来玩。当然，玩家 2 也可以说“那⋯⋯我们就来玩超级游戏吧”，把球又扔回给玩家 1 。如果每个人都说“我们来玩超级游戏吧”，显然这个游戏就永远结束不了了。因此，超级游戏并不是一个有限游戏。
是吗？你会发现此时我们陷入了理发师悖论的困境。如果假设超级游戏不是一个有限游戏，那么玩家 1 提出玩超级游戏就不是一个合法的决策了，从而超级游戏就变得有限了。因此，超级游戏既不是有限游戏，又算是有限游戏，悖论由此产生。
逻辑的世界中满地都是地雷，想不到一句“让我们来玩一个游戏吧”也能带来悖论。跟一个逻辑学家或是一台计算机对话时一定要小心，千万别说一些自我指涉的话来。不过，这还是防不胜防，殊不知一句“让我们来玩一个游戏吧”也能把它们搞崩溃。
沙发，67大牛新年好！
问题在于“游戏”没有一个明确的定义。实际上“超级游戏”根本不是一个“游戏” 。。。。
为什么让我想到了递推……这个超级游戏的逻辑结构很奇特啊
啊，抢个地毯先
让我们来要一个游戏吧：祝楼上楼下的大牛们新年快乐！
让我们来送一个祝福吧：祝楼上楼下的大牛们新年快乐！
祝福+1
来得晚了什么都没了
…..
哈哈，笑翻了
即使不允许自指，“超级游戏”也不是有限的。考虑它的决策树，是由所有高度有限的子树拼成的，然而这颗决策树本身并非高度有限，也就是说它本身不是有限的。这个其实就是有限序数对求并集不是封闭的，虽然1,2,3,4,…这个数列每一个数都是有限的，但是它们的极限omega是无限。
To 10楼：文中所说的“有限游戏”与决策树的高度有限是两回事。“有限游戏”的决策树高度可以是无限的，参考文中的例子。
任意大 和 无限 是两码事。。
這個例子跟集合論悖論應該是同類的
我們可能要規定遊戲本身有不同的集合，只有處於n集合超級遊戲的，才能指定n-1集合的超級遊戲之類的公理…
@11楼 的确，但这样的话，“超级游戏”的构造是非法的，比如说违反正规公理。
Is it not the same as the Halting problem? http://en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem
我觉得文中观点有漏洞。
超级游戏的定义，如文中所说“在超级游戏中，首先，玩家 1 指定一个有限游戏，然后玩家 2 作为这个有限游戏的先行者与玩家 1 对弈。……”
那么如果超级游戏是一个无限游戏，那么，“让我们玩超级游戏吧”不能算作超级游戏的一部分，因为你提出一个无限游戏，不符合定义中“玩家 1 指定一个有限游戏”的说法。所以，还是觉得它是有限游戏。
这定义有问题哇……那个说整数就胜利的游戏……他们俩可以一直不说整数啊……
@16楼 这点并不是漏洞，结尾已经说了，这是一个悖论。也就是说如果假设超级游戏不是“有限游戏”，那么“玩家一”指定的游戏就必须是一个常规的“有限游戏”，那么可以推出超级游戏必然是“有限游戏”；如果假设超级游戏是“有限游戏”，那么“玩家一”可以指定“超级游戏”，那么超级游戏又可能成为“非有限游戏”。
@飞翔的加菲猫 你的观点不是和文中一样吗？如果假设超级游戏是无限游戏，会产生矛盾啊
这种悖论都是可以解决吗？像解决无穷大悖论提出阿列夫数之类的。。。
@14楼 对，我想到阿列夫数了。。。
奇怪啊。。证明它不是有限游戏的证明很好好理解。。但是怎么证明它不是无限游戏呢？
你可以认为第一个人不能说：“让我们来玩一个超级游戏。”。。但是有没有其它的情况也会导致无限呢？
@22楼 如果它是无限游戏就矛盾了啊 既然不能说“让我们来玩一个超级游戏。” 那么玩家1就必须指定一个有限游戏给玩家2作为先手来玩 则整个超级游戏就变成有限游戏了
我想到了递归……
@23楼
不对呀
我的问题是有没有其它的可能性导致提出一个有限游戏，然后此游戏无限？
“首先，如果一个游戏能在有限步之内分出胜负，我们就把它叫做“有限游戏”。注意，一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。虽然每一步的决策无穷多，但只要能在有限步内结束游戏，我们都把它叫做有限游戏。”
——-这个定义不对吧？按照这个定义，超级游戏显然是“能”在有限步之内分出胜负的，只要某一步中，某个玩家指定了任意一个非超级游戏的有限游戏即可。
至少这么定义还完备些：如果一个游戏有可能无法在有限步内分出胜负，我们叫它非有限游戏，否则，叫有限游戏。
太犀利了！
其实问题的根源在于集合论, 我们默认将所有游戏限定在了集合{有限游戏,非有限游戏}, 并且认为所有游戏都属于这个集合中(问题就在这里出现了). 但是题目中的这个游戏在集合论中算是非良定的,所以悖论出现了.
感觉和图灵停机有些类似
啧啧，集合可以用于解决许多精确的问题，其本身却是模糊的，不可自指的，不完备的，无法证明的
集合论不懂。
不过我觉得理发师悖论和这个问题一样，
都是因为在推理的时候不考虑对象的时间属性造成的。
一个对象，在推理的过程中，是可以随时被赋值的，
就如同编程里的变量，同样一个x，逻辑运算本身就在改变x的值。
举个例子
a：
if x=2
then x=3
if x=3
then x=2
goto a：
请问x究竟是2还是3，
我认为至少计算机在运算到x=2的时候，x就是2，
运算到x=3的时候，x是3
由此可知，当你说出“我们来玩个超级游戏”，这句话的时候，
超级游戏从一个有限游戏变成了一个无限游戏，但这并不能否认在你说这句
话之前超级游戏是一个有限游戏，也不能因此否认你说这句话的合法性。
逻辑运算本来就是一个动态的过程，运算中的对象可以看成是该对象值在时间轴上所有变化的一个集合，在不同的时间序列中，对象的值在发生改变。而绝不是一个静态的过程。
我又联想到那个薛定谔的猫的故事。。。
这个故事是否是物理上对我这个理论的一个类似的支持。
比如理发师悖论，
当理发师还没下刀之前，他属于不给自己理发的人，因此他应该给自己理发；只有当他下刀这个动作之后，他才变成了一个“给自己理发的人”。这两个判断并不矛盾，你也不能说他之前的决定是错的。人的行动可以改变事物的属性，而以模拟行为为基础的推理活动当然也不能排除这个例外。
当你观察一个实在物体的时候，这样物体因为你的观察而改变；
当你思考一个抽象概念的时候，这个概念同样因为你的思考而改变。
2楼一语道破啊。就像集合的“集合”不是集合一样。。
67大牛，这个确实是一个悖论。
好多东西可以玩呀
重新看回这个帖子 觉得其实这个悖论产生原因是没有定义合适的范围一样
（这个游戏不能包括自己）
不然你不能说“玩家 1 和玩家 2 游戏，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后立即获胜。”是一个有限游戏，因为这导致了定义不清。
如果把定义域弄清了 那么当然悖论就不存在了
如果一个游戏能在有限步之内分出胜负，我们就把它叫做“有限游戏”。注意，一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏
“如果一个游戏能在有限步之内分出胜负，我们就把它叫做“有限游戏”。注意，一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。”
根据这个定义，超级游戏很明显是有限游戏，那个总是选择玩超级游戏的做法并没有问题，这很好理解：剪刀石头布中两个人完全可以总是出石头，但剪刀石头布当然是有限游戏。