最近看到一类有趣的问题：如何求解 f(f(x)) = g(x) ？我在网上简单搜索了一下，发现这里面真是大有文章。最先对这个问题进行系统研究的应该是 Hellmuth Kneser ，他把函数迭代的次数扩展到了非整数的情况，求解 f(f(x)) = g(x) 就可以更简单地说成是求解 g(x) 迭代 1/2 次后的结果，更形象的说法就是 g(x) 的“平方根”。 Hellmuth Kneser 还对 f(f(x)) = e^x 的解进行了研究，从之后的数学论文发表情况来看，这也是数学家们最关心的问题。
e^x 的“平方根”究竟是什么样的呢？不妨假设满足要求的 f(x) 也是一个连续递增的函数，那么它的增长速度必然超过一切多项式函数（否则迭代的结果还是多项式），同时也必然小于一切指数形式的函数。而事实上，求解一个满足要求的 f(x) 并不难；稍作思考，我们就能够给出一个看似有些平凡的答案。
取任意一个负数，记作 a 。选取任意一个在 (-∞, a] 上单调递增的函数，使得当 x 从 -∞ 增加到 a 时，函数值也从 a 增加到 0 。这样一来，当 x 趋于负无穷时， f(x) 趋于 a ， f(f(a)) 就正好趋于 0 了。但 f(a) = 0 ，那么 f(0) 就必须是 e^a ；而考虑到 f(0) ＝ e^a ，那么 f(e^a) 便只能取 1 了。同理，f(1) = e^(e^a)，而 f(e^(e^a)) 就等于 e 。以此类推，我们便得到了一连串满足要求的点。我们可以从 (-∞, a] 上的其它点出发，用同样的方法填充上述“端点值”之间的部分，得到满足要求的 f(x) 。
根据这个思想，我们可以构造出一个具体的 f(x) 来。取 a = -1，在 (-∞, -1] 上定义 f(x) = e^(x+1) – 1，它的函数值正好从 -1 变到了 0 。在 (-1, 0] 上，则有 f(x) = e^(f-1(x)) = e^(ln(x + 1) – 1) = (x + 1)/e 。对于其它的 x ，则递归地定义为 f(x) = e^(f(ln(x))) 。由此我们便得到一个分段函数，正是这个分段的办法才让它夹在了多项式增长和指数级增长之间：
当然，满足 f(f(x)) = e^x 的函数不止这一个，利用上述构造方法我们能找出无穷多个满足要求的函数来。事实上，我们还有更简单的例子，来说明 f(f(x)) = g(x) 的解有可能不止一个：
定理 1. 对于某些 g(x) ，满足 f(f(x)) = g(x) 的函数 f(x) 可能不止一个。
例如， f(f(x)) = x 就不止一个解。 f(x) = x 和 f(x) = -x 都是满足要求的解。
而对于任意给定的 g(x) ，我们还有一个超级赖皮的方法找出一个几乎完全符合要求的 f(x) ：
定理 2. 对于任意 g(x) ，都存在某个 f(x) ，使得除了某个任意小的区间以外，其余所有 x 都满足 f(f(x)) = g(x) 。
随便取某个很小很小的区间 I 。随便取一个从 R\I 到 I 之间的一一对应函数 h(x) 。然后规定，当 x 属于 R\I 时， f(x) = h(x)； 当 x 属于 I 时， f(x) = g(h-1(x)) 。这样一来，对于所有不属于 I 的实数 x ，都有 f(f(x)) = g(x) 了。
不过，也不要把事情想得太乐观了。
定理 3. 对于某些 g(x) ，不存在函数 f(x) 使得 f(f(x)) = g(x) 。
令 g(0) = 1 ， g(1) = 0 ，其余情况下都有 g(x) = x 。下面我们证明，不存在 f(x) 使得 f(f(x)) = g(x) 。假如有这样的 f(x) ，无妨假设 f(0) = a 。则 f(a) = f(f(0)) = g(0) = 1 。容易看出， a 既不可能是 0 ，又不可能是 1 （否则 f(0) 或者 f(1) 将成为不动点，矛盾）。于是 f(1) = f(f(a)) = g(a) = a 。于是 g(1) = f(f(1)) = f(a) = 1 ≠ 0 ，矛盾。
这个话题还有很多有意思的研究结果。感兴趣的朋友可以移步至下面两个链接。
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/sqrt.exp
http://mathoverflow.net/questions/17614/solving-ffxgx
函数有一阶导数，二阶导数……那有没有0.5阶导数？
这样递归出的函数几乎不可能是解析的
所以要得出解析的函数平方根是很难的~
这是我九月份用一个冗长的递归算法得出的e^z完美平方根(解析)的级数展开的前11项(从z^0到z^10, 常数项因为算法关系只能得出近似值), 楼主试试看这个, 图像会更完美.
{0.693147, 1, 1/4, 1/48, 0, 1/3840, -(7/92160), 1/645120, 53/3440640, -(281/30965760), -(1231/14863564800)}
地板……
一点也不美……
还好啦
表示不解
这不就是群论的东西嘛，群论的东西很深刻
#地毯 Kaa1el：
你给出的数列，除第一项外，应该是e^x-1的“函数平方根”的幂级数展开系数。事实上，对常数项非零的g，f(g(x))的定义涉及到f在g(0)处的收敛性，故从代数意义上来说，f与g的复合无法定义。参见：http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series#Composition_of_series
现欲将e^x表成h(h(x))的形式，因e^0=1，故h(0)不能等于0，虽然从分析角度说，可以定义h与自身的复合，但涉及到无穷级数的计算，似不可能得到全为有理数的结果；若考虑e^x-1，则只出现有限的代数运算，得出的结果也就都是有理数了。
严重长见识了
地毯那个，常数项像是ln 2。。。
若取a=-b,b是满足(b^2)*e^b=1的正数，约等于0.703467。则在
(-∞,-b]上定义 f(x)=b*e^(x+1)-b。在 (-b,0] 上，则有
f(x)= e^(f-1(x)) = e^(ln((x+b)/b)-1)=(x+b)/(b*e^b)。得到的函数在R上一阶导数连续。我在Excel上作出图觉得挺好。
上面有处打错了，定义段函数是f(x)=b*e^(x+b)-b
包括评论中定义的函数f,似乎只是在这些特殊点处满足f(f(x))=g(x),而不是对所有的x都满足呀,还有求地毯哥的迭代程序.我的E-mail:yiwei.gu09@gmail.com
为什么楼上觉得只是在这些特殊点满足f(f(x))=g(x)呢？由楼主给出的f(x)的一般构造方法可以看出，至少对g(x)=e^x而言，f(f(x))=g(x)在整个R上都满足，包括楼主提到的要除外的定义段。因为若及f(x)为u，则后面f(u)的定义正是g(x),故f(f(x))=f(u)=g(x).我用的也是楼主给出的方法，故也是全R满足的，我只是选a值时把段的结合处一阶导数连续的条件加进去，而由f'(x)=g'(invf(x))/f'(invf(x)),可看出，在g(x)一阶导数连续（通常到能满足）的条件下，只要使f'(x)在第一个接合处连续，则以后各接合处都连续，从而处处连续。
定义映射f：x->f(x)，则有关于解析解的存在性定理如下：
“存在一个映射g：x->x#x（#是个满足结合律的二元运算符）使得f=g^s（s∈R）”“f^r=g^sr（r∈R）存在”
#zhangdaming
取 a = -1，在 (-∞, -1] 上定义 f(x) = e^(x+1) – 1
难道在(-∞, -1] 这样的f(f(x))就是e^x么? 不解呀~
回17楼，举个例：取x=-10,则f(-10)=e(-10+1)-1=e^(-9)-1,故
f(f(-10))=f(e^(-9)-1),但-1<e^(-9)-1<0,而f(x)在-1~0上的表达式是f(x)=(x+1)/e,故f(e^(-9)-1)=((e^(-9)-1)+1)/e=e(e^(-9))/e=e^(-10),这就验证了f(f(-10))=e^(-10)
#zhangdaming
明白了,呵呵~
thx啊!
#14:这是我的迭代程序(Mathematica)，其中用到整数的分拆，不过没有注释，基本看不懂-_-||，不过得到的结果与#地毯完全一致：
nmax = 100; l = {1}; t[1, 1] = {{1, 1, 1}}; f = 1;
For[n = 2, n <= nmax, n++, f = f/n; v = 0;
For[k = 2, k = 1, i–, a = Length[b = t[n – i, k – 1]];
For[j = 1, j = i, j++,
e = If[c == i, d[[2]] + 1, 1]; g = k d[[3]] l[[i]]/e; u = u + g;
AppendTo[t[n, k], {i, e, g}]]]; v = v + l[[k]] u];
AppendTo[l, h = (f – v)/2]; t[n, 1] = {{n, 1, h}};
t[n, n] = {{1, n, 1}}; Print[l]];
但重要的是，计算了五十余项后，我突然发现，得到的级数极有可能是不收敛的！后面的系数似乎呈指数级增长，到第58项已经达到10^11数量级，诸位可以验算确认。这说明，这一方法根本无法给出在0的任何邻域内定义的函数，所以e^x-1的解析平方根应该是不存在的。
上面的代码有问题，可以看这里：
http://codepad.org/o55fnYZT
本来就是有平方的！
试着推广推广，弄个f^(i)(x)什么的
越看越觉得自己一直在长见识
试了一下沙发说的半阶导数
用多项式的显然方法求半阶导数，然后代入e^x
配合wolframalpha求出来似乎等于e^x*erf(sqrt(x))
然后懒得验证对不对了。。
赞成@Para
我用windows的计算器calc.exe验证了：
ln2=0.69314718055994530941723212145818