1 4 6 4 1不是唯一答案，我们还有Rascal三角

    如果有人问你，三角形

  

    的下一行数是什么，你一定会毫不犹豫地说，下一行是 “1 4 6 4 1” ——这是 Pascal 三角，每个数都等于两肩的数之和。不过，最近 The College Mathematics Journal 上的一篇论文却给出了一个同样合理的正确答案： 1 4 5 4 1 。理由同样对称而美观：每个数都等于两肩的数之积加 1 ，除以头顶上（再上一行的对应位置上）的数。例如，第 2 个数 4 就等于 (1*3 + 1) / 1 ，而第 3 个数 5 则等于 (3*3 + 1) / 2 。我们不妨就紧跟 Pascal 的脚步，把它取名为 Rascal 三角吧。
    有网友肯定会说了，你就瞎掰吧， Rascal 三角形的生成规则里有除法，这会让三角形里面充斥着大量的分数的。你错了，这才是 Rascal 三角形的神奇之处：尽管每个数都是由两数相除得来的，但它们保证都是整数！你能看出这是为什么吗？

  

 
 

    把脑袋转过 45 度，斜着看这个三角形，于是就有了下面这个方阵：

  

    原来 Rascal 三角形的规律竟是这样简单：变换成上图的方阵后，第 m 行第 n 列的数就是 mn + 1 （行数列数从 0 算起）。利用数学归纳法，我们可以轻易证实这一点。按照 Rascal 三角的生成法则，第 m + 1 行第 n + 1 列就应该等于 m(n + 1) + 1 与 (m + 1)n + 1 的乘积加 1 ，再除以 mn + 1 。而

   [m(n + 1) + 1] [(m + 1)n + 1] + 1
= [(mn + 1) + m] [(mn + 1) + n] + 1
= (mn + 1)(mn + 1) + m(mn + 1) + (mn + 1)n + mn + 1
= (mn + 1) [(mn + 1) + m + n + 1]
= (mn + 1) [(m + 1)(n + 1) + 1]

    它除以 mn + 1 后，正好就等于 (m + 1)(n + 1) + 1了 。

来源：http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RascalTriangle.shtml

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