考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？
答案：记 Pi 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：
P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + …
= (P1 + P2 + P3 + …) + (P2 + P3 + …) + (P3 + …) + …
= P(取数次数≥1) + P(取数次数≥2) + P(取数次数≥3) + …
显然，取数次数是一定大于等于 1 的。事实上，取数次数也是一定大于等于 2 的。要想取到第 3 个数，则前面两个数必须是递增的，其概率是 1/2 ；取数次数达到了 4 次或者更多，当且仅当前三个数是递增的，其概率为 1/3! = 1/6 ⋯⋯因此，本题的答案为：
1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …
没错，这个问题的答案竟然是 e 。
题目来源： Mind Your Decisions
大家有兴趣的话可以看看我之前发过的一个类似的题目，这两个问题似乎是有一腿。
1st
万能的e
貌似没有看懂
e，很有意思的数字…
我猜到了~
占楼
嗯来顶牛人
如果我没记错的话博主讨论过另一个问题，平均取多少次才能让和大于1，结果也是e。。
回地幔：兩者應該是有關聯的
话说我立刻想到你以前说过的那题了。
各种诡异事件发生在e的身上
不懂。。。。。。。
这是有名Markov Chain,但是用one step analysis有点难,因为现在Markov Chain是continue state
设u(x)=E[ T | x ]为上一次抽到x后,平均还要多久才结束游戏
题目是要我们求u(0)
根据one step analysis我们得出下列微分方程:
u(x) = 1 + integral{u(t)} {from x to 1}
对等式两边取导得出:
-u(x) = du(x)/dx
些方程的解为:
u(x)=A exp(-x)
A为常数,能用边界条件求得:
边界条件:u(1) = 1
得出: A = e
所以得出 u(x) = e * exp(-x)
而 u(0) = e * exp (0) = e 得出答案
其实在那个地方不变形也能看得出来吧
无敌的e
建议博主搞一个文章精华集，列出精华文章
没看懂。P1=1；P2=1；第三个数出现的充要条件是数1，数2递增。那不是根据数1才能判断出递增的概率吗？为什么是1/2概率递增？
hi matrix，有事相询，已发邮件到你的tom邮箱。
hi matrix， 有事相询，已发邮件到你的 tom邮箱。
其实原理就是组合数学，猜了好半天才想到
前两个数递增的密度我觉得应该是 t(1-t) 在[0, 1]上的积分，1/6
前两个数递增的概率我觉得应该是 t(1-t) 在[0, 1]上的积分，1/6
ls没那么麻烦，递增序列是唯一确定的，所以1/阶乘 就可以
自卑的路过……
M67大怠工……
果然啊，用程序试了一下，1000w的时候，e近视为2.7185701，vs read E 2.718281828459045
果然啊，用程序试了一下，1000w的时候，e近视为2.7185701，vs real E 2.718281828459045
好像不知道怎么解答。