在准备前一篇日志时，我查阅了很多经典的悖论。我发现，虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的 Cramer 悖论就是一个漂亮的例子。
在描述 Cramer 悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。两条直线交于一点。反过来，过一点可以做两条不同的直线。事实上，过一点可以做无数条直线。确定一条直线需要两个点才够。一切都很正常。
现在，考虑平面上的两条三次曲线。由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到 9 组不同的解，因此两条三次曲线最多有 9 个交点。另外，三次曲线的一般形式为
x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0
这里面一共有 9 个未知系数。代入曲线上的 9 组不同的 (x, y) ，我们就能得出 9 个方程，解出这 9 个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。也就是说，平面上的 9 个点唯一地确定了一个三次曲线。这次貌似就出问题了： “两条三次曲线交于 9 个点” 和 “ 9 个点唯一地确定一条三次曲线” 怎么可能同时成立呢？既然这 9 个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。
Cramer 和 Euler 是同一时代的两位大数学家。他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。上面这个问题就是 1744 年 9 月 30 日 Cramer 在给 Euler 的信中提出来的。在信中， Cramer 摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用 9 个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出 9 个交点。 Cramer 向 Euler 提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？
Euler 心中的疑问不比 Cramer 的少。接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。 1748 年， Euler 发表了一篇题为 Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes （关于曲线规律中的一个明显的矛盾）的文章，尝试着解决这一难题。正如大家所想，矛盾的源头就是， 9 个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。
Euler 试图向人们解释这样一件事情：曲线上的 9 个点虽然给出了 9 个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那 9 个未知数，因为有些方程是废的。在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。 Euler 举了一个最简单的例子：方程组
3x − 2y = 5
4y = 6x − 10
表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以 2 再移项后就直接变成第二个方程了。换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。当然，这只是一个最为简单的例子。在当时，真正让人大开眼界的则是 Euler 文中给出的三元一次方程组：
2x − 3y + 5z = 8
3x − 5y + 7z = 9
x − y + 3z = 7
这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。 Euler 还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。
类似地， 9 个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程 (1) 就是方程 (2) 和方程 (5) 的差的多少多少倍，也有可能方程 (7) 和 (9) 的差恰是前三个方程的和。究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？ Euler 承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。
此时大家或许能体会到， Euler 提出的这些遗留问题太具启发性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。包括 Cramer 在内的数学家们沿着 Euler 的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。没错，这个 Cramer 正是后来提出线性代数一大基本定理—— Cramer 法则——的那个人。
参考资料：
http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer’s_paradox
http://www.maa.org/editorial/euler/How Euler Did It 10 Cramers Paradox.PDF
sf
No. 2
2x − 3y + 5z = 8
3x + 5y + 7z = 9
x − y + 3z = 7
这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍
应为：
2x − 3y + 5z = 8
3x – 5y + 7z = 9
x − y + 3z = 7
回复：谢谢指正，已修改
克莱姆（Gabriel Cramer，公元1704年7月31日─公元1752年1月4日）瑞士数学家。生於日内瓦，卒於法国塞兹河畔巴尼奥勒。早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰‧伯努利（Johann Bernoulli）、欧拉（Euler）等人学习交流，结为挚友。後又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国後在与他们的长期通信中，加犟了数学家之间的联繫，为数学宝库留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先後当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、义大利等学会的成员。
他的主要著作是在1750年出版的《代数曲缐的分析引论》，首先定义了正则、非正则、超越曲缐和无理曲缐等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（y轴），然後讨论曲缐变换，并依据曲缐方程的阶数将曲缐进行分类。为了确定经过5个点的一般二次曲缐的系数，应用了著名的「克莱姆法则」（Cramer’s Rule），即由缐性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则於1729年由英国数学家马克劳林（Maclaurin）得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。书中还讨论了马克劳林注意到的一个曲缐相交的悖论，给出与欧拉在1748年的相同解释，後人称之为「克莱姆悖论」（Cramer’s paradox）。此外，他还留下若干数学史笔记，提出应用於数理经济和概率论的「数学效益」概念。
浑身血液沸腾
感觉有点亢奋呢。好像看见那些死脑筋的家伙突然看到新大陆的兴奋感一样
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地壳
我觉得，如果欧拉仔细研究下那个“一般情况下的公式”，还是很有可能找到答案的，当然这只是个人的YY。
是说两条三次曲线相交的9个点里面一定有几个没有提供新的信息吗？
只是路过膜拜一下Euler的
只怪自己大一大二没好好学高等代数啊
高等代数学完以后，才知道这个线性代数是这么起源的啊。我觉得Euler的想法很朴素，却是让人热血沸腾啊！
直接推出行列式什么的我觉得根本无法想象= =
看着数学就头疼。。。
膜拜 Euler 和 Cramer……
膜拜…
奥特曼前来膜拜
9个交点和9个参数点的对应，还涉及到两个无穷大是否等价的问题，简直就是哲学问题。
链接错了。。最后cramer’s paradox实际指向的是cramer’s rule
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matrix67牛，关于虚数，强烈推荐你去看一本书《negative math》，我还没看（因为$299的售价太TMD贵了买不起啊，图书馆也没找到能借的），反正非常非常非常推荐
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很高兴能够读到你的文章。终于让我知道操蛋的线性代数是怎么样来的了。但我觉得追究楼主所列出来的方程组的解的唯一性并不具有教学意义，哈哈。
学物理的路过膜拜一下，没想到最nb的代数几何和看似无聊的有限维线性代数研究是同时进行的。另外补充一点，最好注明”两条三次曲线交于 9 个点”来自Bezout theorem，这个以前没听过，读wiki页读到的…
怎么证明：如果一条曲线过其中的8个点则必过另一个点。谢谢~
很深奥 不错！
cramer…一下就梦回学线性代数的时候……
很深奥
好喜欢啊啊好喜欢啊啊好喜欢啊啊好喜欢啊啊好喜欢啊啊好喜欢啊啊！！！
热血沸腾+1
最近才发现楼主的日志，正好在学线代，感觉很惊喜，很兴奋，不得不感叹数学的博大精深
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