今天在MOP上看到一个比较有意思的东西，楼主在109楼证明了圆比直线长。
任做一条直线和一个圆，把直线平移使它和圆相切。直线和圆上的点都有无数多，我们怎么比较呢？于是，想到了把直线上的每一点和圆上的每一点建立一一对应关系。对于直线上的每一个点，我们都能经过它做出圆的切线，这个切点就可以和直线上的那个点对应起来。好，现在好玩了：圆上有一个点是永远也不会切到的（就是和原直线相对的那个点）。于是结论出现了：除了这个点之外，圆上的其它点都能够找到直线上相对应的点。也就是说，圆比直线长。长多少呢？就长一个点。
不错，这种比较两条曲线谁的点多的问题我还没搞太明白，似乎都是构造一种映射来证明等或者不等。同样可以证明直线上的点和不含端点的圆弧上的点一样多（从弦的中点作射线穿过圆弧和圆弧外侧平行于弦的直线），是不是圆只比圆弧多一个点呢？
回复：我个人认为，圆比直线长的说法是错误的。根据康托的集合论，直线和圆（甚至一切平面图形）都具有相同的“势”，都可以建立一一对应的关系。无穷的东西只能用势去比较，比较长短的说法是无意义的。比如，区间[0,1]和区间[0,2]相比，后者显然更长。但它们的势是相同的，因为从0到1的实数可以和从0到2的实数建立一一对应关系（乘2除2）
太经典了～～～
回复：涉及到无穷的东西都很有意思
圆的切线与过切点的半径垂直吧,这样的话,一个圆最多只有360条切线,那直线上只需要多于360个点就长了
回复：一个圆最多只有360条切线？圆上的点是连续的吧
再画另外任意一个圆，同理可证比直线多一个点，所以所有圆都一样大
回复：不用这么证了，直接把两个圆作成同心圆，圆心的射线使两圆的点一一对应。
点……有长度吗？点多就说明长度长吗？这应该和说某个原子的温度如何一样是没有意义的吧…
圆的长度应该是有穷的吧（因为根据定义半径只能为长度有限的线段），而直线长度当然是无穷的
看来我没看懂这个讨论的题目-_-
有点意思
那个人显然没把长度的定义弄明白。
[confused] 看过一本科普书介绍过一个方法。然后试了一下该是直线比圆“长”，糊涂了……
假定一个单位圆，
它上面任意点的坐标显然满足x^2+y^2=1，那么将x每个小数间隔开，然后将y的每个数位插进去，这样能得到对应直线（数轴）的一个数。显然直线上每个点未必能对应得上圆上的任意点（需满足x^2+y^2=1），那岂不是和这个帖子相反了。 [sad]
另外说一下好像验证码在 firefox 里不太好使，我是 Ctrl + F5 才刷了一个正确的出来的。[loo]
还有呢。任作相切的一圆一直线，将圆沿直线无摩擦地滚动一周，使圆再次与直线切于圆上的同一点。此时，两个切点之间的距离就是圆的长度，显然比直线小。
如楼上根据两种不同映射法则得到圆自不相等
不过用势的话很好解释也就有限长和无限长线包含点相等
圆是直线的单点紧致化
S1=RP1
在（0，1）上任取点，求倒数之后均可以在（1，无穷大）中找到对应的点，显然（0，1）与后面的任意一个单位开区间长度相等，矛盾出项。所以最后，我想说的是，这个证明算是伪证。无限之间的比较与有限比较是不同的。
可以证明 圆周长的1/2 = 直径
所以得出∏ = 0.5
哈哈
反演变换
too old
谬论,按照这个方法可以证明任意长的两条线段相等.
用这个方法显然可以证明直线长于半圆周。将两个不相交，镜面对称的圆弧对应点相连取中点，将首末两中点相连可以得到一条线段，用此法显然线段长等于半圆弧长，然后，就可以“证明”线段比直线长。。。
Easy, easy, 重在娱乐，呵呵~~
这个问题在于平行 高中初中的平行是两天永不相交的直线
在欧几里得数学中 平行是相交于无限远的两天直线
所以 圆和直线的点一样多
圆比直线长。牛逼。
在上物理竞赛的时候有个类似的证明电势的题，如果类比过来，那么可以作一个半圆，直线与半圆相切于圆弧的中点，那么从圆心到直线的任何一条连线就建立了半圆和直线的一一对应关系，这么看圆是比直线长“一条直线”的长度了哈哈
圆上面有无限个数个点，讨论无限个数本身没有意义，所以无法进行比较。
要证明不等一定要说明没有一种方法能形成一个映射，也就是要用反证法所以原题并不能证明圆比直线长
把圆看作射影直线的实现，就没有矛盾了。这就是射影直线比仿射直线多一个无穷远点的平凡结论。