一架客机上有100个座位，100个人排队依次登机。第一个乘客把机票搞丢了，但他仍被允许登机。由于他不知道他的座位在哪儿，他就随机选了一个座位坐下。以后每一个乘客登机时，如果他的座位是空着的，那么就在他的座位坐下；否则，他就随机选一个仍然空着的座位坐下。请问，最后一个人登机时发现唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？
当最后一个乘客登机时，最后一个空位要么就是他的，要么就是第一个乘客的。由于所有人选择座位时都是随机选择的，这两个位置的“地位”相等，它们所面对的“命运”是相同的，不存在哪个概率大哪个概率小的问题。因此，它们成为最后一个空位的概率是均等的。也就是说，最后一个人发现剩下的空位正好是他的，其概率为50%。
来源：cut-the-knot
不知不觉地，这已经是第400篇日志了
不知道这是不是第400个沙发
问一下M67对clrs概率那章 最后一个题的看法( c 2.10 )我感觉跟mouty hall问题蛮象的 (c 2.09 就是羊与车问题吧)
回复：两道题实质上是一样的
…这个用递归考虑到50%的概率到不难，难的是想到:"当最后一个乘客登机时，最后一个空位要么就是他的，要么就是第一个乘客的。"…
回复：就是啊……
M67，很严肃地问一下：
为什么我上不了cut-the-knot ？老是转到
http://www.cut-the-knot.org/errors/blank.htm
回复：不会啊，我浏览起来很正常
你换个浏览器试试
由于所有人选择座位时都是随机选择的，这两个位置的“地位”相等，
这句话怎么理解，我想不通。
地下室的疑问有道理，我也觉得这个结论一点也不显然。我给出一个论证：把登机人的座位从第二个人开始依次排成一列，第一个人的座位排在最后。显然，第一个人选中倒数第二个或最后一个位置的概率是相等的。如果第一个人没有选中最后两个，则视为选择未结束；设他选中的是第k个，则后面紧接的k-1人没有选择（都坐自己的位置），选择权转交到第k人手中继续前面未结束的选择；第k人的地位此时与前面的选择者完全相当，余类推。最后两个位置被前面的选择者选中的概率始终相等，选择迟早会结束，因此轮到最后一个人时，倒数第二个位置有50%概率空着，那是他自己的正确位置。
我觉得这样想能更简单地理解，当最后一个乘客登机时，最后一个空位要么就是他的，要么就是第一个乘客的，这句话肯定是对的。
那么第一个坐了自己的，最后的人也坐了自己的；第一个坐了最后那个人的位子，那么最后那个人坐了第一个人的位子，这两个概率是一样的。
其他的情况就是第一人坐了剩下98个位子中一个，对于这98人来说，第一个人的位子和最后一个人的位子完全等价，并且选择是互斥的，各50%的可能选择。
综上，50%是正解。
为什么前面座位被占的人不会随机坐到第一个人的位置上？
啊，对的，一旦有人坐到第一个人位置上后面人都会坐到自己位置上了……
我觉得用对应的观点更好理解一点，假设1号人坐在k号位上，则后面的 2 到 k-1 号 人都坐的原位，所以 k只能做到大于等于他自己号码或者一号人的座位上，如果坐到1号位，后面的人都坐原位，循环结束，否则这个继续下去，最终必定会循环到1，而且只会出现一个循环链，所以可以将所有可能性和 2到100 构成的所有子集构成一一对应，而最后一个人能不能坐到原位 就看 该对应的子集是不是包含100 这显然是等可能的，所以概率分别为50%
我觉得没有讨论的必要性。。。
感觉貌似可以这么理解：假如剩下的位置不是第一个人和最后一个人的话，那这个位置的主人为什么不坐在自己的位置上呢，而要让它空着？
貌似Puzzle Toad这一个和这个有异曲同工之妙：http://www.cs.cmu.edu/puzzle/puzzle29.html
循环结束，否则这个继续下去，最终必定会循环到1，而且只会出现一个循环链，所以可以将所有可能性和 2到100 构成的所有子集构成一一对应
看来我们课本上的1%错了…
还有一种想法自认为也很亲民
假设把飞机上所有的100个位置分成3组：第一个乘客的位置，中间98个乘客的位置以及最后一名乘客的位置。
那么乘客上机之后的选择有三种可能：正好选中自己的位置，选择中间98个乘客中其中一个人的位置或者是选了最后一个乘客的位置。其中，
1）他正好选中自己位置。则必然有最后一个乘客能坐上自己的位置。几率是1/100。
2）如果他选了选择中间98个乘客中其中一个人的位置（概率是98/100），有可能导致最后一个乘客刚好能坐上自己的位置，前提是某一个乘客，假设选到最后（把98个座位都坐满了），也就是第99个乘客，发现自己的位置被坐了，并且选了第一个乘客的位置。那概率就应该是 98/100*1/2 (贝叶斯公式)。
3）如果第一个乘客坐了最后一个乘客的位置，那么乘客坐上自己的座位的几率就是0。所以最后一个乘客能坐上自己位置的概率就是情况1）+情况2）= 1/100 + 98/100*1/2=50/100=1/2.
结果同楼主答案。
这题其实除了题主给的最讨巧的解法以外，最不需要思考的方法是用数学归纳法，从N=1开始分析。