经典 Geek 动画 Futurama 上周播出了第 6 季的第 10 集 The Prisoner of Benda 。在这一集中，教授 Farnsworth 发明了一种“心灵对换机”，它可以把两个人的思想互相对换，使得 A 的大脑跑进 B 的身体里，而 B 的大脑则跑到 A 的身体里。 Farnsworth 和 Amy 都想得到对方的身体，便成为了这台机器的第一对实验者。等到他们爽够了想换回来后， Farnsworth 却发现了一个严重的问题：已经互换过大脑的两个身体不能再次进行大脑对换操作。但这并不表示两个人完全没有希望回到自己的身体里—— Farnsworth 突然想到，或许可以用第三者作为一个临时的大脑储存空间，从而实现间接对换。正巧机器人 Bender 进了实验室，于是（身为 Amy 的） Farnsworth 和 Bender 又坐上了机器，这下 Farnsworth 的大脑便跑到 Bender 身体里了，而 Bender 的大脑则进了 Amy 的身体里。此时 Farnsworth 才意识到，引入一个第三者是不够的——再让（身为 Bender 的） Farnsworth 和（身为 Farnsworth 的） Amy 互换大脑，可以让 Farnsworth 恢复原状，但同时 Amy 的大脑会跑到 Bender 的身体里去；这样 Bender 和 Amy 的身体正好颠倒了，而他们却已不能再次使用机器。换句话说，要想恢复两个换位了的大脑，需要引入不止一个新的人。
    但现在，问题已经变得更加复杂了——这下已经产生了三个大脑位置错乱的人。大家很容易联想到一个更一般的问题：给定 n 个人以及他们之前使用“心灵对换机”的记录，至少得引入多少个新的人，才能让所有人的大脑都“物归原主”呢？

（给大家上传一个无字幕版本）

  

    当然，这一集的结局是圆满的： 9 个大脑位置错乱的人，在两个新躯体的帮助下，用了 13 次对换，完成了还原的工作。编剧在剧中给出了一般情况下问题的答案：不管 n 是多少，不管现状有多混乱，引入两个新的身体总是足够的。在剧中，这个结论的证明过程写在了一个黑板上，编剧毫无顾忌地给了黑板一个特写——上面写的真的就是这个结论的证明（点击这里看大图）！

 
    这一群编剧来头可不小，他们竟然个个都拿过数学学位。下面，就让我们一起来看看这群变态编剧的证明思路。这是一个构造性的证明。首先，让我们来考虑一种特殊的情形：

躯体：1  2  3  4  5  6  …  k-1  k
大脑：2  3  4  5  6  7  …   k   1

    换句话说，这些人的脑子所在的位置正好“转了一圈”。我们引入 x 、 y 两个新的人，然后使用下面的策略（每行第 i 个数表示第 i 具躯体里装的谁的大脑，第一行是初始时的状态）：

2  3  4  5  6  …  k   1  x  y  
x  3  4  5  6  …  k   1  2  y
x  y  4  5  6  …  k   1  2  3
x  y  3  5  6  …  k   1  2  4
x  y  3  4  6  …  k   1  2  5
x  y  3  4  5  …  k   1  2  6
… … …
x  y  3  4  5  … k-1  1  2  k
x  y  3  4  5  … k-1  k  2  1
x  2  3  4  5  … k-1  k  y  1
1  2  3  4  5  … k-1  k  y  x

（谢谢大家提醒，已更正）

    容易验证，上面所有的对换操作均发生在原来的人与最后两个人之间，而且所有操作都没有重复。也就是说，不管初始时的混乱状态是怎么得到的，引入 x 和 y 之后，这 k 个大脑总能回到自己的身体里去，而 x 和 y 的位置则与初始时颠倒。注意到一个 1 到 n 的排列总能分解成若干个循环的乘积，对每个循环分别进行上述操作，最后如果需要的话就再把 x 和 y 互换一下，问题就解决了。