承认选择公理可能给我们带来很多有悖于直觉的结论。最著名的例子可谓 Banach-Tarski 悖论了：你可以把一个三维的实心球分成有限多块，通过刚体移动把它变成两个和原来一模一样的球。本 Blog 还介绍过另外一个有趣的结论，它违背常理的程度也不亚于 Banach-Tarski 悖论。今天，我给大家看一个比这些悖论更加荒唐的结论：利用选择公理，我们可以实现预测未来！
在探讨这个话题之前，我们得先为“预测未来”建立一个合理的数学模型。我们假设，对于任一时刻，宇宙中的所有信息都可以编码为某个状态值，我们就把它叫做宇宙的一个“点状态”。宇宙中所有可能的点状态就组成了宇宙的“状态集合”。以数学的眼光看宇宙，一个宇宙也就无非是一个一元函数 f(t) 。它的定义域是整个时间轴 R ，它的值域是宇宙的状态集合，预测未来也就仅仅是根据已知的函数值来推测未知的函数值罢了。假设我们已经知道在区间 (-∞, t0) 上函数的所有取值，如果你能据此给出 f(t0) 的精确值，我们就说你成功地预测了 t0 时刻的宇宙状态。当然，仅凭借过去的信息你是不可能保证猜对 t0 时刻的点状态的，例如对于两个只在 t0 处有区别的宇宙，算法最多只能猜对其中一个宇宙在 t0 处的状态。但你相信吗，存在一个算法，使得我能正确预测几乎所有时间点的宇宙状态。换句话说，我能构造出这样一个算法，使得除了可数个点以外，给定任意一点以前的全部函数值，我都能套用该算法猜对该点的点状态。再换句话说，利用这个算法预测任意时刻的宇宙状态，成功的概率为 1 。
这个算法非常简单。注意到一个给定的函数 f(t) 就定义了一个宇宙，因此所有可能的函数 f(t) 就包含了所有可能的平行宇宙。这是一个大得难以置信的集合，即使两个宇宙间只有某一个时刻的点状态有细微的区别，我们都把它们视为两个不同的平行宇宙。由于选择公理与良序定理等价，因此，我可以给所有可能的平行宇宙排出一个次序来。如果平行宇宙 A 排在平行宇宙 B 的前面，我们就说 A 比 B 更靠前一些， B 则比 A 靠后一些。
从这个角度来说，预测未来实质上就是，当你观察到 t0 以前的所有函数值之后，你需要从所有平行宇宙中筛选出 t0 以前的函数值跟已知数据一模一样的那些宇宙，再从这些候选宇宙中选出一个，断定这个宇宙就是我们现在所处的宇宙，并宣称 t0 时刻的点状态就是这个宇宙在 t0 时的点状态。而我们预测未来的算法就只有简单的一句话：总是从候选宇宙中选择次序最靠前的那一个宇宙。
下面我们证明，用这个算法预测点状态，只会在可数个时间点上失败。为此，我们只需要说明那些预测会失败的时刻所组成的集合是一个通常序下的良序集。反证，假设这些失策时刻所组成的集合可以形成一个没有最小元素的链 t1 > t2 > t3 > … 。不妨把算法在预测 t1 时所选择的宇宙记作 A ，把算法在预测 t2 时选择的宇宙记为 B 。由于算法对 t2 的预测是错误的，即宇宙 B 在 t2 时刻的点状态与实际宇宙在 t2 时的点状态不符；因此，所有在 (-∞, t2] 的函数值与实际宇宙相符的宇宙都比 B 更靠后。而算法对 t1 的预测是基于正确的 t2 点状态的，也就是说 A 在 (-∞, t2] 是符合实际宇宙的，因此 A 比 B 更靠后些。同理， t2 的预测又比 t3 的预测靠后， t3 的预测又比 t4 的预测靠后，因此我们能够找出一系列平行宇宙，它在平行宇宙的顺序中一个比一个更靠前，形成一个无穷长的链。这与平行宇宙次序是良序的矛盾。这就证明了，预测会失效的那些时间点组成的是一个通常序下的良序集。而通常序下的良序集显然是可数的，因此预测失败的概率为 0 。
这个结论确实是有悖于常理的——我们怎么可能仅根据以前的函数值就能保证推出目标点的函数值呢？但是，从另一个角度理解算法的本质，这一反直觉的事实便有了一个合理的解释。如果我们用复杂程度来解释平行宇宙构成的良序集，即宇宙 A 排在宇宙 B 前面就说明宇宙 A 比宇宙 B 更“简单”，更有规律。那么，根据 Occam 剃刀原理，在所有 (-∞, t0) 与观察到的数据相符的宇宙中，最简单的那个最有可能是真实的情况，它在 t0 时刻的点状态就是我们所作出的预测。
查看更多：http://persweb.wabash.edu/facstaff/hardinc/pub/peculiar.pdf
沙发了。。。。
板凳
我还是前排留名吧。
这个理论好神奇啊，但是在数学上又是自洽的。关键大概是是否能够找出一系列平行宇宙吧，毕竟“仅根据以前的函数值就能保证推出目标点的函数值”，也是要知道一些的，如果无法了解平行宇宙的情况，这个预测就无法继续了吧。。我瞎猜的
晕了。。。
不过有点道理。
时间不可逆！！
有了 f(t)就不会有生命
Matrix,有没有什么Mathematica的推荐教材？
回地基March的话：时间只是维数的一个吧，三维里可能时间不可逆，四维呢？宇宙又不是仅限三维的
随机抛硬币的宇宙，假定时间有起点，则每个宇宙为数列Ai=ai0,ai1,ai2…，aij属于{0,1}。显然，不管是否已知t时刻前全部状态，预言t时刻状态的成功率总是1/2，没有理想预言法。即，如果宇宙是离散的，本文所说不成立。
好像不很严谨，指出几个我觉得有误的地方：
1，选择公理等价于存在良序，而不是所有序都是良序。所以文中“平行宇宙次序是良序”不对，应是平行宇宙的众多次序中有的是良序，还有很多不是。
2，文中设存在一个良序关系，但没有构造出来（事实上还没人构造得出来）。所以只知道有一个良序关系存在，而不知道在这个关系中A、B的先后次序，就谈不到A在B前还是B在A前了。
3、“ A 在 (-∞, t2] 是符合实际宇宙的”，为什么？实际上文中没有证明。
4、“一个宇宙也就无非是一个一元函数 f(t) 。它的定义域是整个时间轴 R”，因此，一个“宇宙”事实上在所有时刻已经被定义了，它的概念涵盖了时间和空间。因此，在“我们预测未来的算法”选出一个“宇宙”以后，我们已经对未来每一时刻用这个“宇宙”做出了预言，而不能在预测 t1 时用“宇宙”A，在预测 t2 时用“宇宙”B
第一次留言，刚看这博客不久，但是非常喜欢。尤其是《用信息熵证明素数无穷多》给我很深印象。但这篇文章似乎在数学上不严谨。
这里的“预测”，与自然语言中的“预测”完全没有关系。自然语言中的“预测”，必须是可构造的。而这里只是存在性证明，证明存在这样的“预测算法”，但没有任何算法可以把这个“预测算法”找出来。阿列夫二基数上的序数，连想象一下都是有困难的。
因此，这种悖论感（不是真的悖论），只是将自然语言下的“预测”的感性认识代入而产生的。
再想了想，我在楼上说得也不对，涉及阿列夫二，真是难以想象。不用牵扯宇宙和预测这样的术语，以免与感性认识相混淆。
考虑实函数y=f(x)，楼主的悖论等价于：给定x<x0时的所有y值，则在整个定义域内y=f(x)就被确定了，除了可数个点。这下悖论感就强多了。不知这样改造是否准确。
我认为这里论证的主要问题是 可数点的数目/所有点的数目=0
因此导致失败的概率为0。
论证中又 利用了 “通过可数点集 构造 良序的不可数子集”的构造技巧，因此才导致这一结果。
这一证明看似有理又无理，是否有内在的缺陷还需要探讨，其中选择公理的使用似乎有问题。选择公理指的是可以选择出一个元素。但是证明过程中明确的选出了最靠前的一个宇宙。这个选择是否可以做到呢？如果可以做到，实际上这个选择过程就是宇宙的预测过程了。
“因此我们能够找出一系列平行宇宙，它在平行宇宙的顺序中一个比一个更靠前，形成一个无穷长的链。这与平行宇宙次序是良序的矛盾。”
证明了”平行宇宙次序不是良序的”, 但是没有证明”平行宇宙集不是良序集”
正如10楼第一点所说
时间不可逆！！
怎么也不会有生命的
时间不可逆啊！！
如果宇宙是离散的，本文所说不成立。这种悖论感（不是真的悖论），只是将自然语言下的“预测”的感性认识代入而产生的。
这句说得不错，平行宇宙次序不是良序的”, 但是没有证明”平行宇宙集不是良序集
可以预测未来就好咯
有点难以想象的理论
可惜我不能完全琢磨透。。
呵呵，好久没来这逛下了!希望博主一切顺利!
果真有这么强大，
膜拜
证明中有错误：“由于算法对 t2 的预测是错误的，即宇宙 B 在 t2 时刻的点状态与实际宇宙在 t2 时的点状态不符”。
这段是说该算法根据(-∞,t2)的宇宙状态挑选出在(-∞,t2)恒等的最前的宇宙B，而B并非真实宇宙R。但挑错了宇宙也不表明在B在t2的状态与真实宇宙R不同啊！完全可以是在其它时刻不同。这样，也就导不出因为A在t2更正确所以A在B之后。
换言之，如果LZ的证明成立，那该证明也可用于我在12楼的模型。在x<x0上重合的函数中，把只有可数个点不同的函数视为一族，则同族的函数就只有阿列夫一那么多；但仅在xx0时任意的函数有阿列夫二那么多，因此在x<x0上重合的函数不可能都同族。如果该算法选中的函数在A族，而真实宇宙在B族，按定义，就有不可数个点不同了。
一言激起千层浪
不知道我有没有理解错。楼主的模型和12楼的模型是不一样的。
我觉得楼主的模型有点问题，楼主提供的算法，是已经知道 (-∞, t0)时的“宇宙状态”，寻找t0时的宇宙状态的算法。但后面说“只有可数个时间”点可能错误，这句话是什么意思呢？莫非是楼主按照这个算法，把t0以后所有时间点的宇宙状态都“选定”了？设t1>t2>…>t0，则确定t1时的宇宙状态时，要已经知道t2时间的宇宙才可以，而t2时的宇宙状态，是楼主“选”出来的，而不是已知的（已知的只有 (-∞, t0)）的时间状态。
或者换种说法，在 (-∞, t0)已知时，你选择了t0处的状态，然后你等待、观察，在t2前的所有时间都已知时，你又选择了t2时的状态。这样一次选择依赖于以前的宇宙状态，你只能做可数次选择，当然就只能犯可数次错误。
给我斧正一下呗？URL点我ID就可以了
我看错了。LZ说的是根据(-∞,t)预测“现在”(t)的状态，并不是说预测整个未来。那么，楼主的证明是对的。但这就与我们理解的“预测”有点不同了。
回复31楼，我不太明白，既然一次只能预测一点的未来，那“只会犯可数次错误”又有什么意义呢？
回复32楼：就是不可数次对一个点的预测，只会错可数次。也就是说你随便挑一点，不让你看该点的值而要你从该点过去的全部值来推断该点的值，你正确的概率为1。但你要多预测一些，比如预测未来的一个任意小区间，便无能为力了。
分清楚细节后，这种“正确”其实不造成太大悖论感，只是对不可数集的良序，提供了一点感性认识。
回29楼：楼主的说法确实是有点歧义，我开始也被误导，所以觉得特别不可思议。其实是在可数个点处预测当前点时会出错，并不是在任意点预测全部未来时只在可数个点上出错。
回复33楼：如果仅仅对一点的预测，那是没有问题的。
但是这样概率的计算就有问题了，算概率的时候，是证明了“出错的点”的个数只能是可数的。但是，对这个算法，下面一句话的意义需要考虑
“用这个算法预测点状态，只会在可数个时间点上失败”
因为不同时间的点，只是不同条件下选择的。因此，统计这些点的个数，除以所有点的总个数，得到的并不是一次预测正确的概率。
未来是根据物体本身和时间空间加以确定的 ，并不是不可预测，只是这要取决于人们的认识程度。
要是在未来有多种可能的情况下，选择公理可以提供一种方法确定为一种可能，那么选择公理本身应该是可以证否的
随便乱定义一个不确定的函数，预测一下，然后你说真实情况其实是xxx就可以了
找茬有点过头了
Occam剃刀只是说可能性比较大，与在数学上证明必然如此还是有很大的区别的
违背因果律
博主你好，第一次留言，如果哪里说错了还请多多包涵。事实上，若一个实数的子集能够被写成（根据自然序）递减的列，那么该子集一定可数。所以你不能像这样归纳地构造全体宇宙序中的递减序列。唔，望回复。
我觉得不太对吧，本身把宇宙中的所有信息编码就不可能。量子力学里好像有这么一个定理吧。
又一个形而上学
你预测的出来吗！
LZ说的好像和拉普拉斯魔鬼悖论有一定联系。顶十楼，哥德尔不完备定理，物理的测不准原理。
它在平行宇宙的顺序中一个比一个更靠前，形成一个无穷长的链。这与平行宇宙次序是良序的矛盾。
为什么说这是矛盾的,不明白，能解释下吗?
一个宇宙也就无非是一个一元函数 f(t) 。它的定义域是整个时间轴 R”，因此，一个“宇宙”事实上在所有时刻已经被定义了，它的概念涵盖了时间和空间