我们把一个边长为2的正方形划分成4个小正方形，每个小正方形里作一个内切圆，然后在原来的大正方形中间作一个同时外切于这4个圆的小圆（红色标注）。我们把这个小圆叫做“中心圆”。你怎么来求这个中心圆的半径？
仔细观察其中一个小正方形，思路就出来了：红色的中心圆变成了一个90度扇形，它的中心位于单位正方形的一角，并且外切于直径为1的圆。可以看到扇形半径加上圆的半径等于单位正方形对角线的一半，这样我们就得出，中心圆的半径等于(sqrt(2)-1)/2。
对于一个立方体同样如此。我们把立方体切成8个小立方体，得到的8个球体中间夹住的那个中心球半径就应该为(sqrt(3)-1)/2。你会发现一个惊人的事实，在超立方体中，位于16个四维球体间的中心球半径为(sqrt(4)-1)/2 = 1/2，它竟然与那16个小球一样大。真正可怕的事情发生在九维立方体中，此时的九维中心球半径为(sqrt(9)-1)/2 = 1，竟然内切于最初的九维立方体！而到了十维空间后，中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大，这显然违反了大多数人的直觉；如果你能想象出这个画面来，你就牛B了。科幻小说中把对十维空间的感知能力作为文明发达程度的标准，除了一些相关的宇宙模型外，这可能也是其中一个原因吧。
沙发
错别字
作为生活在三维空间里的生物的我们, 基本上是很难用直觉想像高维空间的, 因为直觉的建立是一个长期的过程, 我们在三维空间里生活了很久才有了对三维空间的直觉的, 有实验显示, 婴儿对面前的沟深浅就没有什么认识..
回复：错别字已改……为什么中文没有什么有效的拼写检查呢
三维低等生物路过。
实在是想像不出高于三维的情况
无语中～
人类实在是太低等了～
回复：四维立方体很容易想象嘛
well, it's….difficult to imagine[flower]
我觉得奇怪的是,"我们竟然能够在2纬平面里化出三为物体来",如果适当的话,二为平面也能够表现四纬物体.
依次类推,我的问题:1.三纬中如何"表示"四纬物体?
2.低纬到底能够表现多高的纬度,是否有个限度?例如:二为平面能够画出5,6,7,8…纬?还是说最多只能够表现到某个纬度.
呵呵,一些迷惑而已,无聊遐想,如果火星的话,甘愿被b4
回复：按照我的理解，平面上可以画出任意高维的图形；网上有这些图片，可以google一下
实在难以想像
不过想到的更厉害
矩阵可以表达任何多维的模型
你的眼睛能够直接“捕捉”一个二维平面，对一个三维物体，如果能捕捉到足够多的它在二维平面上的投影，使你能够通过这些投影判断它的物理性质，那么你就“感受”到了一个三维物体。同样适用于三维表述四维，要得到足够多的四维物体在三维空间的投影。
没有限度，关键在于能否判断它的物理性质。
真折磨想象力
中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大
第一句话对, 后面两句错
回复：能说一下为什么吗
惊叹于你对数学的痴迷和数学推理，不过我不大赞同你推理的一个结论“被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大”，这个可能直觉化了。
下面的推理，不一定对，仅作参考
按照你的推理，n维空间，中心球的半径是(sqrt(n)-1)/2，初始大立方体边长为2
那么大立方体的“容积”是2^n
中心球的呢，a*pi*((sqrt(n)-1)/2)^n，a是系数，2维时a=1，三维时a=4/3，……
那么中心球与大立方体体积比=a*pi*(sqrt(n)-1)^n/2^2n，我们只要看看这个比值随着n怎么变化就知道中心球是否会“撑爆”大立方体了
我不确定系数a和维数n的函数关系，按照2维和3维猜测或许是2^(n-1)/n，如果是对的，可以判断比值函数是否递减
简单不严谨的，看看2维和3维情况下这个比值变化或许能猜测这个函数递减，那么又一个奇怪的高维现象发生了，中心球直径逐渐超过立方体边长，但却撑不爆那个立方体
当然了，中心球的“容积”也是越来越大的，只是增长速度赶不上立方体
回复：分母的底数为常数，但球的半径不断增加，最终体积显然会超过立方体
这个“比值”与你想像的很不一样，有兴趣你可以查一下多维球体积公式的相关资料
感觉那个半径计算公式应该是不正确的，感觉而已哈哈~ 数学上尽管有违反直觉的地方，但是感觉这个地方不是的，里面的N维小球球应该还是包含于N维方体的。不知道楼主的推论是否有确切出处。。。
ms有一部科普电影《dimension》讲四维空间讲的比较形象。。
对于最后一句
似乎可以参看这个
“超弦理论认为，在每一个基本粒子内部，都有一根细细的线在振动，就像琴弦的振动一样，因此这根细细的线就被科学家形象地称为“弦”。我们知道，不同的琴弦振动的模式不同，因此振动产生的音调也不同。类似的道理，粒子内部的弦也有不同的振动模式，不过这种弦的振动不是产生音调，而是产生一个个粒子。换言之，每个基本粒子是由一根弦组成。
超弦理论认为，粒子并不存在，存在的只是弦在空间运动；各种不同的粒子只不过是弦的不同振动模式而已。自然界中所发生的一切相互作用，所有的物质和能量，都可以用弦的分裂和结合来解释。
弦的运动是非常复杂，以至于三维空间已经无法容纳它的运动轨迹，必须有高达十维的空间才能满足它的运动，就像人的运动复杂到无法在二维平面中完成，而必须在三维空间中完成一样。
”
引子百度百科“超弦”
4维对于我来说是极其难以Visualize的。14楼提到的dimensions我也看过，但是对于4维空间的想像没有太大帮助。毕竟4维物体过于匪夷所思，看来一段时间内只能够向下兼容了……
是不是可以认为是欧几里得10维空间的否证？至少里面的距离定义不应该是sqrt((a1-b1)^2+(a2-b2)^2+…..(a10-b10)^2)
呵呵，被弄晕了一会儿，想明白了。确实撑破了那个10维体……不自己动手算一下的话的确有点不相信。
另，自己刚才积了一下，4维球的体积是pi^2r^4/2。很好很强大。
http://zh.wikipedia.org/wiki/N%E7%BB%B4%E7%90%83%E9%9D%A2
参考阅读材料
感觉可以大致想象10维空间中立方体的这种情况，但是又感觉无法表述这种概念……低维度生物的悲哀么……
中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大
前两句话对, 后面一句我没算，不知道。但经过思考之后，我发现这没什么奇怪之处，还是符合数学和物理常识的。
因为你本来就没说球体肯定在超立方体内，你只是说它和周围的球体相切。而当维度增加时，中间的空间必然增大，导致中间的球在重围中“滑出”超立方体的边界了。
你可以以想象9维空间为例，那时候，正如你所说，中心的球体刚好与超立方体内切，想象这时另外2^9个球体被中心的球“挤”到2^9个角落里了，但它们依然彼此接触。
搂主的地公式好像不对，至少3维的时候不是(sqrt(3)-1)/2,好像是(2*sqrt(3)-sqrt(2)+1)/2 更高维超出立方体硬改还是有可能的 半径确实在变大
认为不存在四维以上空间的路过。。。。。。
哈哈 偶得结论是：
n维中心球在n趋于无穷时的容积极限是n维超立方体外接球的容积
出现这个现象是因为那几个小超立方体内接球的容积随着n增大变得越来越“小”（在n>=6的时候）。很明显，这时候中心球的计算方法需要改过，想一想一个大正方形四个角上塞了4个很小的圆，这时候中心圆的情形就能明白~
三叶虫路过：咦，这里好多点点噢……
思维空间在楼主的头脑里是什么样子？
坦率的说，您的推论在而且仅在您认识的三维空间里有效；
思维空间还没有形成？？？？？
推论：
1维，三维空间中的一维；
2维，三维空间中的二维；
3维，三维空间中的三维；
、、、、、、、、、、、
4维以上，三维空间中的4维以上？
所以没有您的公式，也没有其他仁兄的递减规律，逻辑上好像有点点的欠考虑！如果眼睛仅是三维空间中的探测媒介，那么不要把4维以上空间想象倾向于眼睛所看到的三维空间空间的计算吧！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
三维低等生物路过。
这里很热闹啊，博主真是有心人，收集了这么多有趣的资料
在维基百科看到“当 n 趋于无穷大时， frac{V_n}{R^n} 趋于0”，太神奇了！
能不能用10维空间中的球面方程来证明？但这么说的话真的很难理解。
是不是高维球的“体积”相比起高维正方体的“体积”越来越小，维数较高时就“夹不住”了？
大致有了些想法，高维空间真不是人待的地方。。。
关键是不正常的对角线。
因为当维数变高的时候，n维超立方体的对角线会越来越长，9维的时候是边长的三倍，如果这还不算很直观的话，那么10000维的时候对角线就是边长的100倍，我觉得，这样的超立方体就可以抽象成这个样子了：
/
/
-/
| |
/-
/
/
而那些边上小球的半径完全不能和对角线相比（和边长同阶），因此全被挤到了旁边，这样一来，中心的球就可以在确保和边上小球相切的前提下，轻松超越超立方体的n-1维墙（因为这个距离是由边长决定的），但它却不可能超越对角线上的点（这个是对角线长决定的）。
虽然算是想通了，可是要把n维超立方体扭曲成这样才能想通，还是很变态啊。。。
果然上图被扭曲了。。。画的是一个正方形和超出其很多的对角线。
应该说是在高维空间中的边边角角比实际体积看上去还要多吧……
这样的话就是像29楼说的那样，当维数高时整个立方体看上去就像一个水泊蛋？
十维也好，六维也好，先把第四维投影在三维上的属性确定就好理解了。
为什么n维的单位超球当中，5维的超体积在数值上最大
无聊
中间不漏了一大坑
多维球的体积公式的系数我用积分算过的，过了5维就递减了，非常神奇。（记不住是不是5维了）
刚刚算了一下，10维空间中球体积系数大约是2.54。而球的半径是(sqrt(10)-1)/2 = 1.16。这样球的体积大约是2.54*1.16^10 = 5.54。而“10维体”的体积是2^10 = 1024。虽然“十维球”的直径 = 1.16*2 = 2.32大于2，但是体积远远小于“十维体”。不知道我算错了没。
瞬间想象出来了什么水准….
确实撑破了那个10维体……不自己动手算一下的话真的难以置信
20楼正解
10维时，10维中心超球已经超出10维超方体的9维超方体面边界（即超出了9维超方体的中心），但没有到达8维超方体面边界
维数继续增加，n维中心超球会超出(n-1)维、(n-2)维、……(n-p)维超方体面边界
在n维超方体内构造一n维超球，它的体积等于n维超方体体积，此时的n维超球会超出(n-q)维超方体面边界（可以想想2维、3维情况）
可知，p永远小于q，并且q-p随着n增加而增加。比如10维的情况，体积等于10维超方体体积的10维超球超出了10维超方体的7维超方体面边界，而10维中心超球只是超出了10维超方体的9维超方体面边界
n维超方体最后的边界是2^n个顶点，到达这个边界的n维超球是n维超方体的外接超球，即，R(中心超球) < R(V球=V超方体) < R(外接超球)
所以，楼主的一句话是错的，“到了十维空间后，中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界”，并没有！10维中心超球离10维超方体的最后边界还差两个级别！
20楼一点说对了，“你可以想象9维空间为例，那时候，正如你所说，中心的球体刚好与超立方体内切，想象这时另外2^9个球体被中心的球“挤”到2^9个角落里了，但它们依然彼此接触。”
楼主在12楼的回复也是错的，“分母的底数为常数，但球的半径不断增加，最终体积显然会超过立方体”，实际上，n维中心球所占n维超方体的体积，随着n增加会越来越小
换种思路——
1维情况，2个顶点2个角落球（此时角落球等同于2个二分之一边长的线段），不存在中心球
2维情况，4个顶点4个角落球，每个顶点对应的角落球和相邻2个角落球相切、和1个角落球相离；从垂直于正方形的1维棱的角度去看，可以看到2个角落球的投影（线段，其实角落球和1维棱相切于各自一半边的中点）、看不到中心球投影
3维情况，8个顶点8个角落球，每个顶点对应的角落球和相邻3个角落球相切、和4个角落球相离；从垂直于立方体的2维面的角度去看，可以看到4个角落球的投影（圆面，其实角落球和2维面相切于各自1/4面的面中心）、此时可以看到中心球投影的一部分
4维情况，16个顶点16个角落球，每个顶点对应的角落球和相邻4个角落球相切、和11个角落球相离；从垂直于4维立方体的3维面的角度去看，可以看到8个角落球的投影（3维球，其实角落球和3维面相切于各自1/8体的体中心）、此时可以看到中心球投影的一部分；接着从垂直于4维立方体的3维面的2维面的角度去看，可以看到4个角落球的投影的投影（圆面，此时这这些投影与2维面相离）、此时可以看到中心球投影的一部分的投影
依次类推……
9维情况，512（即2^9）个顶点512个角落球，每个顶点对应的角落球和相邻9个角落球相切、和502（即2^9-9-1）个角落球相离；中心球已经达到8维面的中心，此时站在8维面的角度，已经能看到中心球实实在在的一个点了；……（太繁琐了）；最终在2维面上看到的投影形状是4个圆面（7重投影部分） 叠加 1个内切2维面的圆面（中心球7重投影部分）
问题的关键是n维超方体的内切球的定义——指这个n维超球内切于n维超方体的（n-1）维面。
比如，1维线段内切圆、外接圆都是线段本事，它们和1维线段2个顶点相切（外接），也就是说1维中没有π； 2维正方形内切圆内切于正方形的4条棱，远离4个顶点； 3维立方体内切球内切于立方体的6个面，远离12条棱，更远离8个顶点
最后，9维的情况可大致描述如下——9维超方体中，512个角落球各自与相邻的9个角落球相切，与其它502个角落球相离，角落球“实实在在”地被“挤”在“角落”里，而中心球与这512个角落球都相切，此时它的大小刚好达到内切球的大小，但同时中心球的体积只不过是9维超方体体积的0.64%，随着n增加，这个体积比会持续减小
可见，9维超方体的中心球的直径达到边长大小，但其体积远小于9维超方体体积，因为其直径小于3)，我们能用的永远只是低维类比的方法，真实的情况我们永远想不到，不能以为3维中，中心球在立方体内部、没有到达面，9维的情况也如此。
数学，除了严格的逻辑推理之外，想象力有帮助，但有时并不靠谱，因为想象力有局限。感兴趣的可以看看刘慈欣在《三体》中关于4维空间的描述，虽不完全准确，但已经很了不起了。
总结——内切球和中心球的定义不同；n维超方体的内切超球在超方体内部，与超方体有2n个切点（分别在2n个n-1维面的中心）；n维超方体的中心超球与超方体的2^n个角落球（或称顶点球）相切，其不是必定在n维超方体内部
中心球可以理解为球心在n维超方体中心、与超方体的2^n个顶点球相切的超球；如果理解为被n维超方体的2^n个顶点球包裹在中心的超球就错了，即使2维、3维（4维也可以想象出来）的情况的确如此
更正，往前2楼中，“9维超方体的中心球的直径达到边长大小，但其体积远小于9维超方体体积，因为其直径小于3)”的“因为其直径小于3)“，是写多了没删干净
我只是对数学有点小兴趣，看书不多，不知道边界和内部的定义是否一样，但显然n维超方体有n类“边界”（n-1维面、n-2维面、……、2维面、1维棱、0维顶点），或者这个“边界”另有其名？
上面提到的m重投影只是为了说明顶点球和中心球大小关系，其实m重投影并不存在，影子哪来的影子？
真实的情况可以从类比着手。把3维的感觉直接延伸到9维显然是错的，但2维与3维的关系可以延伸到3维和4维的关系，乃至8维和9维的关系、或者9维和10维的关系。
在3维立方体中，其内切球内切于立方体的6个面，和每个面都有1个切点（位于面的中心）。我们从面上看可以看到一个圆面，但实际上只有面的中心那个点才是实实在在的内切球上的点，而其它部分只不过是2维投影。如果从1维棱上看，实际上只能看到1个点，而这个点只是1维投影，并不在1维棱上。如果从0维点上看，什么都看不见。
扩展到4维。4维超方体有8个3维立方体面，从每个3维面上看，可以看到3维球形投影，只有3维立方体面中心的那个点才是实实在在的4维内切球上的点。如果从2维面上看，只能看到1个点，而这个点只是2维投影，并不在2维面上。如果从棱上看呢？什么都看不见了。
扩展到9维也是如此。9维超方体的9维内切超球，在其8维面上可以看到8维超球投影，在其7维面上只能看到1个点的投影，在其7维以下的面上什么都看不见了。
10维超方体的10维中心超球已经大于其10维内切超球。对于这个10维中心超球，在10维超方体的9维面上，其9维投影已经超出9维面边界，并且9维面上已经包含了10维中心超球的一部分9维横截面。那么，在8维面上就可以看到不仅是1个点的8维投影。但是在8维以下的面上仍旧什么都看不见。
如果还想不明白，回过头想像一下4维超方体中，4维超球越过其3维立方体面的情况。或者想像一下3维立方体中，球体越过面的情况。
得之坦然，失之淡然，顺其自然，争其必然。
高維空間的「大」「小」似乎不能以三維角度理解。三維中覺得大的，在四維中未必那麼大。
啊