从来没有见到过一个纯数学的东西在digg上这么受欢迎，我也转上来。
大家肯定都见过用除以零、平方根、无穷级数等“技巧”去“证明”类似的结论，但我第一次看到这个用虚数来玩的戏法。大家看看哪里错了：
Step 1: -1/1 = 1/-1
Step 2: 两边同时开方：sqrt( -1/1 ) = sqrt( 1/-1 )
Step 3: 化简得：sqrt(-1)/sqrt(1) = sqrt(1)/sqrt(-1)
Step 4: 也就是说，i/1 = 1/i
Step 5: 那么，i / 2 = 1 / (2i)
Step 6: 两边同时加一个数：i/2 + 3/(2i) = 1/(2i) + 3/(2i)
Step 7: 同时乘以一个数：i (i/2 + 3/(2i) ) = i ( 1/(2i) + 3/(2i) )
Step 8: 展开：(i^2)/2 + (3i)/(2i) = i/(2i) + (3i)/(2i)
Step 9: 于是有：(-1)/2 + 3/2 = 1/2 + 3/2
Step 10: 这说明1=2
如果你也被搞晕了，去这里看看吧。这对于我这种课本上根本没有讲虚数，只是道听途说知道一些东西的文科生来说尤其具有迷惑性。
果然够荒谬……
一个数有2个平方根的。。。
在复数范围内，第3步是不成立的。
从原来那个网站上复制的：
In fact, the whole proof really boils down to the fact that sqrt(-1)(-1) = 1, so sqrt(-1)(-1)=1, but sqrt(-1)sqrt(-1)=-1 (not 1).
还有，第二步应该是“两边同时开平方”。。。
我的电脑出了问题，无法输入英文字母。。。所有的英文字母都是复制过来的。。。
回复：
笔误，谢谢指正
错误其实在第二步就发生了，负数不能开平方根运算的。
我们定义虚数单位也是说i^2=-1不是说i=sqrt(-1)，因为使得z^2=-1的复数z有两个，i和1/i
因此第三步才会出现1/i=i/1，这就好比说一元二次方程的两个根相等。
不知道这样说对不对
p.s.matrix大牛真是全才啊，数学和信息学都这么牛，而且网站设计和平面设计也这么牛，网站架构相当不错啊
回复：数学、信息和设计都很菜，意淫倒有一手
厉害……
（为什么用opera输入验证码老是出错？我以为我小学的加法都不会算了……）
回复：可能是opera缓存的问题
2-3错了，sqrt(-1/1)=sqrt(-1)/sqrt(1)不对，只有正数才行吧。下边的接着说。
呃。。。你是文科生。。。。？
回复：http://www.matrix67.com/blog/default.asp?tag=%E6%96%87%E7%A7%91
…国外很老的经典逻辑教材了…楼上全部火星人
第三步错了.
只要把所有的数写成指数表达就不可能出错了.
在复平面上1=exp(i2k[pi]), -1=exp(i(2k+1)[pi]), i=exp(i(1/2+2k)[pi]) 其中k为整数.
所以sqrt(1)=1^0.5=exp(ik[pi]), 此时根据k的奇偶, 结果可以是正或负的1, 同理对-1开根号也是这样.
第三步根本没写出正确的结果. 等式两边应该根据同一个k来决定各自的正负
其他运算步骤也要严格按照指数运算法则来算, 写出所有可能结果. 这样就不会出现表面上的”悖论”.
在复数域对第一步的等式进行开根号运算将有两个值，于是该等式就变成两个集合相等，后面的步骤又从该集合中挑选两个不相等元素进行证明，因此势必得到荒谬的结论。
想起罗素曾用2=1证明了“我是教王”的故事……
负数显然可以开平方，sqrt只是一个开根号的符号，非负数就是算术平方根，负数的话，规定了 根号(-1)=i，实数范围的开根号都是唯一值。根本的错误就是3l引的老外的话，2->3不是显然的，sqrt(-1)sqrt(-1)=-1 (not 1)
在复数域对第一步的等式进行开根号运算将有两个值，于是该等式就变成两个集合相等，后面的步骤又从该集合中挑选两个不相等元素进行证明，因此势必得到荒谬的结论
第二步错了
Step1:
-1/1=e^(ipi)/e^0=e^(ipi)=-1
1/-1=e^0/e^(ipi)=e^(-ipi)=-1
Step2:
sqrt(-1/1)=e^(ipi/2)=i
sqrt(1/-1)=e^(-ipi/2)=-i
两个式子已经不相等了
后面不用说了
ps.那个英文网站解释太复杂了。这个问题从旋转的角度来看一目了然