Banach-Tarski悖论指出，你可以把一个三维球体分割成有限多份，然后拼合成两个和原来一模一样的球体。这个构造是Stefan Banach和Alfred Tarski在1924年发表的论文中给出的，不过我还从来没有完整地瞻仰过这个牛B的构造过程。今天我看到了一个Banach-Tarski悖论的弱化版，但它的反直觉性绝对不亚于Banach-Tarski悖论。通过这个弱化的结论，你或许会对Banach和Tarski的构造方法有了更多的理解。
下面我将会给出这样一个神奇的构造：取出[0,2]的一个子集S，把它分割为可数个不相交的点集，对每个点集各自进行适当的平移后，可以让它们的并集变为全体实数集。
对于[0,1]里的任意两个实数x和y，如果x-y是一个有理数，我们就把它归为一类。这样，我们就把[0,1]中的所有数分为了不可数个等价类，每个等价类里的元素个数都是可数的。下面，从每个等价类中选择一个代表元，构成一个集合X（注意：实现这一步需要用到选择公理——你不知道该怎么构造这个集合，但这个集合的确是存在的）。
我们用X+a来表示把集合X中的每个元素都加a（即把集合X在数轴上平移a个单位）。由于集合X中的任意两个元素都不在同一等价类里，因此取遍所有的有理数q，得到的X+q都是互不相交的。如果限定q只取[0,1]里的有理数，那么我们就得到了可数个形如X+q的点集，它们的交集为空。把它们的并集记为S，容易看出S是[0,2]的一个子集，并且它由可数个不相交集组成。注意，[0,1]中的有理数和全体有理数都是可数的，因此存在一个一一映射的函数q→f(q)，它把[0,1]中的有理数映射到全体有理数上。然后，我们把集合S中的每个X+q都平移到X+f(q)。这些平移后的点集就组成了整个实数集，因为任何一个实数都对应了某个等价类，而集合X包含了所有等价类的代表元，f(q)又遍历了所有的有理数，因此每一个实数都一定在某个X+f(q)里。
来源：http://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/121.1.00s/tarski.html
沙发?
如果悖论成立，这不是等于证明了连续统假设？
其实这不能叫做悖论啦，只要承认选择公理，这些结论就得看成是顺理成章的“事实”啊
前排
陶哲轩的网站……
对 第一个想到的就是连续统
tao …
好深奥。。。
为什么是[0,2]…
惊现“对于[0,1]里的任意两个实数x和y，如果x-y是一个有理数，我们就把它归为一类”，这句话是我们实变教材上在基于Zermelo选取公理构造不可测集的例子时用的一句话。82，你后面提到的“选择公理”应该就是这个Zermelo选取公理吧？我只能承认，你确实很强！
我也觉得不能叫做悖论。。。
account suspended!
1. 分球悖论只使用了平移和旋转,之所以叫悖论.文中用到的q->f(q)是一个放大过程,把[0,2]的子集放大成R不足为奇.
2. 证明没问题,但是实际上[0,2]的子集被分割成了不可数个部分. “我们就把[0,1]中的所有数分为了不可数个等价类”,利用选择公理从每个等价类里面提取出一个元素构成的集合X也是不可数的, X+q肯定也是不可数的
q+X -> f(q) + X 并不是一个伸缩操作，而是平移操作啊。
每个X+q都是Lebesque不可测的
这样做无非是找到了从[0,2]到全体R的一个一一映射.
但我们早就知道了任何连续的区间(a,b)和R的势都是阿列夫零,所以它们之间一定存在一一映射.
这样做无非是找到了从[0,2]到R 的一个一一映射.
这样做无非是找到了从[0,2]到R 的一个一一映射.
我们早就知道了任何一个连续区间(a,b)和R的势都是相等的,所以一定可以找到从(a,b)到R的一一映射.
找到（或证明）存在[0,2]到R 的一个一一映射是容易的，但要能找到一些“平移”的映射，使[0,2]到R 的一个一一对应就难了，这与常理是相悖的，因为直觉告诉我们，平移前后集合元素多少应该完全“相等”，不会多出1个元素来，但R显然比[0,2]多出了许多元素。
比如，很难想象偶数集作一些平移会成为整个整数集。
这种构造方式是实变函数里构造Lebesgue不可测集的方法，14楼说的对。相信分球怪论也是用了类似的想法…
ps: 谁能算出 X+q 的Lebesgue外测度？
X应该是不可测的。如果m(X)=0，则m([0,2])=0,矛盾。如果m(X)>0,则m([0,2]) =+infty, 也矛盾。
很好!
这根本就不是悖论。它和什么矛盾了？
对于[0,1]里的任意两个实数x和y，如果x-y是一个有理数，我们就把它归为一类。
这句话有问题，在区间里可以取到x和无限个y使x-y=有理数，想x,y不是一一对应的，集合的元素不确定，何来集合。
如有错误，请包涵。
抱歉，刚才理解错误，但是好像不是悖论，就像线段可以和直线上的点建立一一对应关系。但Banach-Tarski悖论是有限步的分割，才让我感觉反直觉，如果是无限步的话，我很轻松就能接受。
好深奥。。。
这个证明和下个证明的问题都在于选择公理有适用范围，即只适用于可数集
一直在思考低维空间有没有类似的分球“悖论”。我在一维空间上有个猜想：长度为1的线段可以分解成有限个子集，然后仅靠平移和翻转拼成长度为2的线段。在[0, 1]闭区间上用于构造自由群F2的基础变换如下
Fa(x) = x<a ? 1-x : x-a
Fb(x) = x<b ? 1-x : x-b
a,b为(0,1)中两个不可公度的无理数。
分球悖论球面部分的证明完全可以复制。