不知道大家见过没有，我今天偶然看到，在这里写一下。
箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率；“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率；“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有10^(n-1)元钱，另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。
举个例子，假如我们拿到了100元钱的信封，那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半。也就是说，如果我们拿到了x元钱，换一个信封的话有1/3的概率多得9x元，有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元，这告诉了我们换一个信封显然更好。
现在的问题是，既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？
大家可以在下面讨论
我就不参与讨论了，虽然我也不知道是怎么回事
这个问题让我想到了Newcomb悖论，说有个妖精可以预言你将拿一个箱子还是两个箱子，大家一定见过。
A highly superior being from another part of the galaxy presents you with two boxes, one open and one closed. In the open box there is a thousand-dollar bill. In the closed box there is either one million dollars or there is nothing. You are to choose between taking both boxes or taking the closed box only. But there's a catch.
The being claims that he is able to predict what any human being will decide to do. If he predicted you would take only the closed box, then he placed a million dollars in it. But if he predicted you would take both boxes, he left the closed box empty. Furthermore, he has run this experiment with 999 people before, and has been right every time.
What do you do?
On the one hand, the evidence is fairly obvious that if you choose to take only the closed box you will get one million dollars, whereas if you take both boxes you get only a measly thousand. You'd be stupid to take both boxes.
On the other hand, at the time you make your decision, the closed box already is empty or else contains a million dollars. Either way, if you take both boxes you get a thousand dollars more than if you take the closed box only.
Newcomb悖论是很荒唐的，很不具有数学的科学性。但这篇日志介绍的悖论在科学性上是可以承认的。
很光荣地看不懂数学期望…[cry]
回复：期望值，说穿了就是平均值的意思
你都不知道
那还讨论什么
回复：我这么菜，当然不知道咯
那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？
你怎么知道刚开始哪个是另个信封呢?即使确定一个信封但另一个信封又是"另一个信封",而这个信封又是另一个信封的"另一个信封",到最后还是不知道选哪个…觉得最后好像还是看个运气…
PS:我在说什么啊…
如果说，世界上存在4种命题：1。对 2。错 3。既对又错 4。既不对又不错 ，那么悖论就可以被完美地解决了。
这年头，人们的思维都定势了。。。
回复：这个想法有创意，不错不错
算概率的那边有点问题吧。。。。。。
怎么可以直接等成1/3和2/3呢
回复：我可以肯定+2.4的期望值结果是正确的
老大，剩下的那个信封除了那1/2^n的概率之外的概率是什么，没有钱或有更多钱，你的题目好象有点问题哦，还有就是那个什么什么同学说的蛮对的，再没有特定一个信封为第一个信封时就没有所谓的另一个信封吧，所以老大的问题很有问题哦．老大，老爸说，要学好数学，一定先要把语文学好，英语不算，因为你那一大堆英语看得我发慌，虽然我英语很一般，语文也很一般，数学也蛮一般，但是老大啊，你的问题还是有问题啊，希望不是出在我的问题上，恩，就这样
从题目条件开始就是错的
你会发现在取第一个信之前，你获得钱的期望值是+infinity！！
如果强加一个上限(比如n<=10)，就没有悖论了
这个问题有个简单的版本，有两个信封中装有钱，一个是另一个的两倍，你选中一个后看到其中装有100元，问是否要换？
学数学的好处，如果让你用二十个字说，你说什么。麻烦您发到我邮箱
这应该是条件概率的问题。。。
这个问题的根源在于，第一次拿信封时(假设你的手还在黑箱里可以随便挑)你有无限次选任何一个信封的权利，但是打开了一个之后你就丧失了无数次任选的权利，此时你只有两种选择，换和不换，两种决策的前提并不等同，所以其决策也没有可比性，不能拿这种事前不可能获知的事后经验来反推之前的决定正确性。简单地说，这个问题没有悖论，其真实的结果就是，任何贪婪的人都一定会打开看两个信封，至于事实上拿到多的还是少的就看运气了。
首先指出楼主的一个错误：
对于这样一个箱子来说，你去取一个信封出来，那么你的期望收益是正无穷。在这样的前提下，2.4x其实没什么意义，还是正无穷。
如果这点可以达成一致，那么问题也就解决了。
在后面计算换与不换的概率的时候其实不是1/3和2/3，而是有一个先验概率，也就是说你拿到的那个信封，是小中大（【10，100】中的100）的概率是2/3，是大中小（【100，1000】中的100）的概率是1/3。然后再计算的结果就都是1/2了。
BTW，楼主确实是个牛人，我也对数学和计算机很有兴趣，可惜忙于生计荒废了。。。希望交个朋友
怎么回事？我不能回复
呵呵，总共就两个信封，来回选择不过是个周期函数，把它想成单增函数不过是你自己的心理预期！
这个题目好像美剧“Number”里面有过讲，类似的，忘记了。可以介绍楼主看看。
我的看法
1、在没有开启任何一个信封之前，显然有E（A）=E（B），这时选A选B随意
2、在开启（确定）某一个信封A之后，E（A）=A，E（B）=5.05A，有E（B）>E（A），故最优策略选B（即选后者）
3、如果开启的是信封B，E（B）=B，E（A）=5.05B，有E（A）>E（B），故最优策略选A（也选后者）
注意到上述E（A）>E（B）和E（B）>E（A）成立的前提条件是不能同时满足的，故实际上不存在循环的悖论，而有唯一最优策略，即选后者
开箱子以前无A,B
第二个箱子有钱的概率我可以设置成0.000000000001但是里面装100000000000000000000元，这样期望虽然很高，但是我不会选它。
这和用第一个箱子的钱买第二个箱子的彩票差不多
这个悖论还是由无穷引起的。如果“有1/2^n的概率发生这样的事情”的n只取1到N，则悖论不存在（N任意大），因为你如果发现信封里有10^N元钱，你就不换了，如果小于这个数，那你就换一个。而n取遍所有自然数，就没有这么个上界，这个取到最多钱数的“终极情况”就在无穷处“消失”了。
这种无穷导致的概率悖论是很常见的。比如可以举出下面的例子，比LZ的例子要简单，但是悖论产生的原理是一样的，因而更容易看到问题出现的原因。
假设你做一个游戏，游戏的结果是你会随机得到报酬，你有(1/2)^n的可能得到10^n元。现在你做了一次游戏，假设得到了10^N元。你有一个机会，把游戏重玩一次（但要把已经得到的10^N元交回去），你愿意重玩么？
按照数学期望的话，重玩总是有利的。但是，既然已经重玩必然有利，为什么不直接玩“第二次”呢？
事实上，因为期望其实是无穷大的，因此你不管得到多大的一个（有穷的）结果，都小于期望。
(1/2)^n 的机会 得到 10^(n-1), 10^n的钱
(1/2)^(n+1)的机会得到 10^n, 10^(n+1)的钱
概率
1/4 ￥1
3/8 ￥10
3/16 ￥100
…
期望:1*1/4+10*3/8+… = ∞
悖论就是现实与理论的差距,现实生活中,不可能出现重玩总是有理,因为现实不存在∞,..
如果已经拿到100元，那么另一封信封中10元和1000元的概率都是1/2
我感觉问题在于，你打开一个信封之后，两个信封就不是等同的了，问题就变了，就像这样一个问题，某游戏有两关，你在第一关会获得x元钱，如果你选择继续第二关，那么你有1/3的概率额外获得9x元，有2/3的概率失去0.9x元。从期望来看，当然要进行下一关。并没有直接选择第二关的情况存在
路过 期望发散 不存在一开始的矛盾
游戏一开始的期望就是发散的。
觉得23楼说的很有道理
@23楼
你说的情况和这个悖论情况不同。
悖论中的概率你都是可以推测出来的（已知条件已经足够多了），也就是说，打不打开信封，概率都是确定的。而你说的情况下，再没有打开信封前，概率不确定的。
这题我很感兴趣，欢迎讨论
本来不实，何必认真
该悖论与现实不相符的地方是“既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”
也就是说“现实中至少存在一个最佳信封，在我们拿到它后没必要再换了，而理论却推出不存在，不管我们拿到哪一个都最后换掉”
实际上，假设关于信封的数列最大到1000元和1000的那个就停止了，此时存折拿到10000时不用换的情况
但是原条件说的是100000……无穷多个可能，显然拿不到最大的那个
因此会得到与实际不符的结果，而“有无穷多个可能”实际上是不可能的
上面说的有几个错字，重发一遍：
该悖论与现实不相符的地方是“既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”
也就是说“现实中至少存在一个最佳信封，在我们拿到它后没必要再换了，而理论却推出，不存在最佳的，不管我们拿到哪一个最后都应该换掉”
实际上，假设关于信封的数列最大到1000元和10000的那个就停止了，此时存在着拿到10000时不用换的情况
但是原条件说的是100000……无穷多个可能，显然拿不到最大的那个
而“有无穷多个可能”实际上是不可能的，因此会得到与实际不符的结果，
从从解B
刚开始时，两个信封内的钱数都未知，两个信封是等价的，拿到一个后才有换另一个的说法，而换一个后由于两个都知道了就不讨论可能性了。。不是这样吗？一开始两个信封是等价的啊？
我倒觉得这个事情不能单从期望来考虑，期望是个平均的概念，我们的选择是一次的行为。举个例子，你拿到100元，然后告诉你，你有一次选择，99%概率损失100元，1%概率拿到10001，你愿意换吗？又如果，让我选100次，然后最后的钱为100次的平均，那我肯定换。所以，对于一次选择，概率的大小才是决定因素吧。
上面写错一个地方，囧，不是100次的平均，假如给我n次有放回选择，只有当0.99^n<1/2,我才考虑
我觉得这个问题其实是归结于本来的数学期望是正无穷的。
问题可以不用构造的这么扭曲。
就假设两个信封里有1/2 1/4 1/8…的概率放着1，10，100…元。不用设定两个信封直接有任何联系。
则当你打开一个信封之后，不论如何换到另一个信封都会带来一个无穷高的数学期望。所以转换到另一个信封都是一个较好的选择。
究其原因应该是因为原本的数学期望是无穷高，无论如何打开一个信封都使得无穷高的期望坍缩成一个有限值。所以打开这个操作本身使得信封贬值了。相对于另外一个还没有打开的信封，打开的就变差了。
换与不换期望应该都是一样的，不会有增加。打个比方你打开信封发现是100元，假设另一信封里的是X元，那么总存在你打开信封是X元，剩下信封是100元的对称样本，如果前一情况下交欢带来A的增值，那么对称样本操作下将带来A的减值，且这两种情况的概率各占一半所以，总的增值=1/2A-1/2A=0。我估计是条件概率的计算出现差错了吧，原文中给出的是信封对出现的概率，进一步确定拿到信封中是多少钱还要乘以1/2。请指正。
在没有打开信封之前 你永远无法知道这两个信封的可能态（比如不看到其中一个信封有100元是无法确定总共有100,1000 和 10,100 两种情况）。类似的悖论出现在薛定鄂的猫，也是在打开前处于叠加态。而在这个叠加态上，期望值自然趋于无穷大，问题是打开的一瞬间就已经确定了期望值了，在刚才的例子里，看到一封中有100，那么换了之前期望值自然是334，换之后也就确定了两个信封的钱数。
(1/2)^n 的机会 得到 10^(n-1), 10^n
(1/2)^(n+1)的机会得到 10^n, 10^(n+1)
‘。。。假如我们拿到了100元钱的信封，那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半。’谁说的？参见贝叶斯公式。。。2种情况不是等先验概率的时候，似然比是不等于后验概率的比的。。
先说一下抱歉，经过计算，这里的似然比是等于后验概率的比的，纠正一下我 楼上武断的说法。
2个信封和的期望是无穷的，然后你拿到了一个有限的信封，当然另外一个信封的期望也还是无穷的（期望可以加减，不管是否独立），当然贪心的去拿另外一个啦。
人生的期望是无穷的，所以才有了我们成功之后永不止步的动力，因为继续前进的收益期望值永远是正数。
因为在还没有选择的时候，不存在这个问题，所以讨论没选择时“是否换另外一个”是没有意义的，在作出选择后这个问题就有意义了
问题确实出在无穷上。楼主如果有兴趣可以浏览一下我写的关于这个问题的日志http://blog.renren.com/blog/471956228/907401536
可以从最开始一点一点的去推：
1、你拿到的是1元，你想都不用想就会换！期望值为10
2、你拿到的是10元，你换的话期望值是1/2+100/4=25.5
3、你拿到的是100元，你换的话期望值是10/4+1000/8=127.5
4、你拿到的是1000元，你换的话期望值是100/8+10000/16=637.5
这个时候已经不划算了
5、你拿到的是10000元，你换的话期望值是1000/16+100000/32=3187.5更不划算！！
聪明的你应该知到这是符合我们的逻辑的！
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楼主的期望计算方式错了！！这个问题看似是条件概率的问题，但是其实根本就不满足条件概率的运算条件，整个选择只选择了一次，就是说这一次的选择就确定了两个信封中的钱数。如果用楼主计算期望的方式是说：先选一次，然后另一个信封的钱数是可变的-有1/3的概率变多、2/3的概率变少，但是这时另一个信封的钱数在第一次选择时客观上就确定了不变了，所以另一个信封的钱数的概率是依赖第一个信封的选择的，所以算另一个信封钱数的期望要用第一次选择时的概率来算：如果第一个信封的钱数是10^n，那么另一个信封的期望为：5.1*5^n(n>0的整数n=0时期望为10)和44楼的计算结果一样！
44楼的错了，按你的方法，拿到100元时，1/4概率换成10元，1/8概率换成1000元，那剩下的5/8呢
根本原因是因为你拿到钱的期望是无穷大，所以不论拿到多少都嫌少，都想换一下。
当你打开一个信封的时候，知道了数值信息，改变了系统状态，再根据这个数值和自己的期望（无穷大）比较，才得出下一步策略。
所以，“打开信封”是有意义的，但“打开信封前选择信封”是无意义的。
当然，传统意义上这还是个悖论，是因为传统意义不可能有这种事件，出题人准备无穷多的rmb是不可能的。
你的推理没有错，不过你只推了一半。你只看到10元的情况，确实是增加了2.4x。但是，100、1000、到无穷这些呢？也是增加了2.4x。就是说结论应该是无穷=2.4*无穷，当然没有错。一句话，不用换。当然，换了也不亏
上面写错了，无穷=3.4*无穷，意外