你认为，是否有可能把全体正整数染成红蓝二色，使得不存在无穷等差数列，数列中的所有数都是一种颜色？如果你认为存在这样的染色方案，请给出一个构造方法；如果你认为不存在，证明之。在看下面的答案之前，不妨先仔细思考一下。
事实上，满足题意的染色方案是存在的，构造方法非常简单，非常直接，非常暴力。显然，无穷等差数列只有可数个，不妨把它们分别叫做A_1, A_2, A_3, …。现在，如果我们能够构造两个数列r_1, r_2, r_3, …和b_1, b_2, b_3…，使得对于每一个i，r_i和b_i都在数列A_i中，并且r数列中的每个数都和b数列中的所有数都不相同。这样，把r数列中的所有数染成红色，把b数列中的所有数染成蓝色（其它未出现的数随意染色），就能保证每个无穷等差数列都包含了至少两种颜色。
而这样的r数列和b数列显然存在，因为每一次选择新的r_i和b_i时，无穷数列A_i中都只有有限个数不能选，因此r_i和b_i永远都有选的。
Update: 地基层网友给出了一个更巧妙、更简单的构造方法：对全体正整数倍长间隔染色，即把1染成红色，2和3染成蓝色，4到7染成红色，8到15染成蓝色……。显然，当染色区间的长度大于公差时，等差数列最终都将一截一截地落在不同的染色区间中。
大家可能还记得，这个Blog之前还讲了一个关于稠密点集构造的问题。那篇日志中提到，在平面中存在一个处处稠密的点集，在每个平行于坐标轴的直线上最多只存在一点。该点集的构造方法非常直接，与上面介绍的问题如出一辙。两个例子对照着看看，一种数学思想逐渐开始成形。
昨天看到一个很好的数学网站Tricki，它是一个正在开发中的、介绍各种数学思维方法的、类似Wiki的系统。我随便点开一篇文章，立即被震撼到了。这些文章的质量相当高，多个经典例子的对照把内在的数学思想赤裸裸地展示出来。在所谓的“just-do-it proofs”里，我们还看到了一个更绝的例子，它把这种暴力构造法发展到了一个相当牛B的境界。题目很简单：每个竖直或水平的直线上最多只有一点的稠密点集也不再牛B了，现在你能构造出一个平面上处处稠密的，并且任意三点不共线的点集吗？
要想再次套用上述暴力构造法，困难就在于，此时我们讨论的东西不是可数的，我们需要把它们“离散化”。我们需要回到一些根本性的问题上。究竟什么是稠密性？我们说，平面上一个点集是稠密的，如果对于平面上任意一点p和任意小的正实数ε，总能在点集中找到一点q使得p和q的距离小于ε，那么我们就是该点集在平面上稠密。为了实现离散化，我们需要尽可能用有理数来代替实数。受此启发，我们想到用1/n来代替ε，同时由于有理点（两个坐标均为有理数的点）在平面上已经是处处稠密的了，我们可以只考虑所有的有理数点。下面以每一个有理点为圆心的、分别以1, 1/2, 1/3, …为半径作圆，这就在平面上形成了无穷多个圆盘。由于可数个可数集仍然可数，因此圆盘的数目是可数的，我们可以把圆盘编号为D_1, D_2, D_3, …。只需要保证每个圆盘中都有至少一个点，我们就能保证该点集在平面上处处稠密了。下面，我们在D_1中选择一点p_1，在D_2中选择一点p_2，在D_3中选择与p_1, p_2不共线的一点p_3，在D_4中选择位于前三个点的两两连线之外的一点p_4……注意到有限条直线永远不能覆盖住一个圆盘上的所有点，因此每一次在圆盘中选点时，我们总有点可以选。因此这个过程显然能无限进行下去，最终得到的点集即满足我们的要求。
沙发下
板凳……
怎么如此冷清？
考虑这样的染色方案T，所有奇数染红，所有偶数染蓝，显然这个方案存在无穷等差数列。
另一方面，使用上面的构造方法，先排列公差为1的所有等差数列，A_1 = {1,2,3,…},A_2 = {2,3,4,…},A_3 = {3,4,5,…} … 再排列剩下的可数个等差数列，从A_1取1、2， 使得r_1 = 1, b_1 = 2; 从A_2取3、4， 使得r_2 = 3, b_2 = 4; 从A_3取5、6， 使得r_3 = 5, b_3 = 6; … 结果 r_i = 2i-1，b_i = 2i;因为公差为1的等差数列是无限可数的，所以 i 取遍所有的自然数，即此时的染色方案为T，矛盾！而Matrix67的构造方案感觉逻辑上也没问题啊，谁能解释一下呢？
上面所说的公差为1的所有等差数列，指的都是无穷的等差数列。
找到问题所在了。可数个可数集合的并仍为可数集。但我那样子排列无穷等差数列并不是一个保证可数的排列。
直接倍长间隔染色不行吗(1r,2-3b,4-7r…)？等差数列的共差是有限的，倍长区间趋于无穷，所以任意一个等差数列都会在足够远的地方落到连续两个不同色的区间。
一涉及到可数，无穷，我立马感到自己思维的无力了~
楼上的构造确实更巧妙、更简单！可以概括为：固定公差的数列不能跨越比公差大的着色区间。
#24
问一下有人了解<>第一节提到的..
kaluza定理么…?~
没看懂你那个解.. 但我想到的也是按照自然数, 依次给区间染色
建议LZ用等宽字体来显示数字和字母：
比如1 i I l L 0 O o 等就很容易分辨。
常用的等宽字体有：
Courier New
Lucida Console
1. 所有字符等宽；
2. 简洁、清晰、规范的字符形体；
3. 支持ASCII码为128以上的扩展字符集；
4. 空白字符(ASCII: 0×20)与其他字符等宽；
5. ‘1′、’l’和’i’等三个字符易于区分；
6. ‘0′、’o’和’O’等三个字符易于区分；
7. 双引号、单引号的前后部分易于区分，最好是镜像对称的；
8. 清晰的标点符号外形，尤其是大括符、圆括符和方括符。
Monospace/Fixed Width Programmer’s Fonts: http://www.lowing.org/fonts/
01001100011100001111……
0，红
1，蓝
把n!+n涂为红，其他为蓝。。。
你会证明吗？
n属于N+
那样子排列无穷等差数列并不是一个保证可数的排列。