对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集处处稠密。例如，全体有理数集合就是稠密的，任意接近的两个有理数之间都存在其它的有理数（比如它们的算术平均值）。这样看来，两个处处稠密的点集似乎是不能共存的，但实际情况并非如此。我们将会看到越来越牛B的例子，它们将让我们对稠密性有一个全新的认识。
1. 在数轴上找出两个处处稠密的点集，它们互不相交。
很简单。全体有理数和全体无理数就是满足条件的两个集合。
2. 在数轴上找出两个处处稠密的不可数点集，它们互不相交。
很狡猾。集合A取全体正有理数和全体负无理数的并集，集合B取全体正无理数和全体负有理数的并集，这两个集合即可满足条件。
3. 在数轴上找出无穷多个处处稠密的点集，它们两两不相交。
令P_i表示第i个素数。则集合S_i := { √P_i + r| r为有理数 }满足条件。为了证明它们两两不相交，假设r_1 + √P_m = r_2 + √P_n，于是(r_1 – r_2)^2 = (√P_n – √P_m)^2，可得√P_m * P_n = ( P_m + P_n – ((r_1 – r_2)^2) )/2。两个素数的乘积的平方根是一个有理数，这显然是荒谬的（很多证明根号2是无理数的方法都可以证实这一点，例如这里的证法http://www.matrix67.com/blog/archives/206）。
4. 在数轴上找出无穷多个处处稠密的不可数点集，它们两两不相交。（原答案有误，已更新）
把上例中的集合S_i并上实数区间(i-1, i)即可，换句话说S_1∪(0,1), S_2∪(1,2), S_3∪(2,3), …即满足条件。谢谢网友永远的魔灵提醒。我写错了。我们把上例中的集合S_i并上实数区间(i-1,i)挖掉所有形如√p + r的数后剩余的部分，换句话说令E=R∪S_i，则S_1∪(E∩(0,1)), S_2∪(E∩(1,2)), S_3∪(E∩(2,3)), …即满足条件。为什么这些集合都是不可数的呢？这是因为，∪S_i是可数的（可数个可数集仍然可数），因此R∪S_i就是不可数的，它的每一个子区间也是不可数的。
现在呢，两两不相交的稠密集已经不牛B了。让我们再看另一个极端：随便多少个集合交起来仍然处处稠密。
5. 在数轴上找出无穷多个两两相异的处处稠密的点集，其中任意多个集合的交仍然处处稠密。
很简单。集合T_i = R{i}即满足要求。它们的交集相当于在实数集中挖去正整数点，这不影响其稠密性。
6. 在数轴上找出无穷多个处处稠密的点集，其中任意多个集合的交仍然处处稠密，但所有集合的交集为空。
由于有理数集是可数的，把全体有理数排成一个序列r_1, r_2, r_3, …。记实数集为Q，则T_i = Q{r_i}满足条件。换句话说，想象有无穷多个有理数集排成一列，然后在第i个集合中挖去第i个有理数。这样，任意多个集合的交集就相当于在稠密集中挖掉有限个元素，它仍然是处处稠密的；但全体集合的交集显然为空，因为对于每一个有理数，都有一个不包含它的集合。
7. 在数轴上找出无穷多个处处稠密的点集形成的序列，每一个集合都是前一个集合的真子集，并且所有集合都是处处稠密的，但它们的交集为空。
这个就更加不可思议了……无穷多个越来越小的集合，还能保证每一个集合都是稠密的。虽然这个例子要比前面那一个强得多，但原理和前面的基本上一样。还是把全体有理数排成一个序列r_1, r_2, r_3, …，然后令T_i = Q{r_1, r_2, …, r_i}，即T_1 = {r_2, r_3, r_4, …}, T_2 = {r_3, r_4, r_5, …}, T_3 = {r_4, r_5, …}, ……。和上面的讨论类似，所有集合都是处处稠密的，任意多个集合的交集也是处处稠密的，但所有集合的交集为空。
抢沙发~书雕那篇太火了~~
你们俩做一起呢吧？ 沙发当然是你的了
强~~
竟然说我发表评论太快了…
怪不得Cantor发疯了
第4的最后一句话没有改颜色……
发现其实不用改……
第四题的答案保证了两两不相交..?
我明白了， 在实数区间中去掉相交部分就行了
3.kpi+r就可以了
都是可以一眼看出来的，不是很牛B
估计matrix67没想出第七条加上不可数的条件应该怎么搞？
按这种构造方法，只要再除掉i之前的无理数就可以了
不过要求每一段都可数的话可能就要涉及选择公理了。。
极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了
——中学重大错误：将两异集误为同一集
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]编序号常识使“潜藏”5千年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时使统治数学的集论露出百年病魔原形。“有胡子的，不一定是爹。”2，3，…，n+1，…不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误：搞错了y=n+1等函数的值域而将两异集误为同一集。
[关键词]标准及非标准无穷大自然数；假自然数集；自然数公理；集论；函数的值域；可数无限集的定义；推翻
化学曾被错误的燃素说统治百年。无独有偶，数学也被极荒唐的集论统治百年。
一、太浅显编序号常识证实太惊人真相：此1，2，…，n，…之外还有名亡实存的无穷大自然数
王元、万哲先等译《数学——它的内容，方法和意义（3）》8页：若集合A的元素可以用全体自然数来标记：元1，元2，…，元n，…（所有标记数n组成自然数列1，2，3，…=N——黄小宁注）则A 是可数无限集（记为A～N）。（此书将0排除在N外，本文遵从此约定。）此定义要抓住2个要点：①A的元都可以配上自然数号码。②必须用完一切自然数。 显然若N不够用，或用不完而仅用部分自然数就能将A的各元都配上自然数号码，则A就不～N。以下揭示“各元可排为一无穷序列的集就是可数无限集”是错误的定义。
用一车砖建一围墙，建到还剩一缺口就没有砖了。“拆东墙补西墙”地补上此缺口并不能改变砖不够用的事实。
两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U～N增一元得U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。显然用自然数n标记U～N的各元就无一遗漏地用光一切自然数了，否则U的元与N的元就不一样多了。否认此事实者，反映其连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂。故H中的a已没有自然数为其标记而须用别的数如超自然数来标记，即H是不可数集——其元不可都用自然数来标记，原因是N不够用。“拆东墙补西墙”地重新编号不能改变N不够用的事实。
所以可数集定义及编自然数号码常识表明有
h定理1：可数无限集的任何一部分E都不～N（仅用一部分自然数就能将E的各元都配上自然数号码）。
h定理2：C+D（C～N）必不～N（N不够用）。
例如将N的偶数都编上自然数号码：2=2号数，…，2n=2n号数，极显然：N的奇数都没有用到。重新编号: 2n=n号数，所有编号数n=1，2，3，…组成V。极显然：还可将N的奇数都编上自然数号码：1=m号数，3=m+1号数，…，显然m只能是V外自然数>V的一切n！说对N的偶数都编上自然数号码就用光一切自然数了，显然是错误的，因N的各数都能编上自然数号码。其实只是用光V的一切自然数罢了。而这用光…也还只是给N的偶数都编上…而根本不能给N的各数都编上…，充分证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”。
“大道至简至易。”关键：各2n∈N都有编号数n∈VÌN的同时各2n-1∈N也都有编号数∈WÌN，显然V+W=N，W的各数都在V外！——53字符使“潜藏”5千多年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时显示“N的真子集可～N”是百年重大误解。否定无理数的数学自相矛盾，否定无穷数的标准分析也必自相矛盾，从而极难学难教。
故如[1][2]所述若N的一切n都有对应2n>n则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。故定义域为N的y=2n>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。
“大道至简至易。”有数学家说:数学也可看图识“字”。U～N的1号元可形象化为①，小圆盘表示U的元，圆盘中粘贴上自然数1。U的每一元(圆盘)上都贴一相应自然数，每一自然数都被贴在U的圆盘上——形象说明…就用光一切自然数了。现在若要在U外的圆盘上粘贴自然数1就须将U的①中的1撕下来移到…，同样，…。由此可知U外圆盘上粘贴1后，U中就必总有一圆盘上不能有自然数，虽然贴上自然数的圆盘可排为①，②，③，…。
二、存在奇数与偶数不一样多的是假自然数集
如[1][2]所述，自然数列（1，2）（3，4）…=N的各奇数与各偶数能一一配对而无一“单身”，而N的各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得：1（2，3）（4，5）…= N′中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N′是似是而非的假自然数集！而且关系式
y=n+1>n=1，2，…（自然数列）
也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千年！
显然相应有各项都可用自然数来标记的可数级数(项1+项2)+(项3+项4)+…，其各项可一一配对而无一“单身”。奇数项为-1偶数项为1的发散可数级数s=（-1+1）+（-1+1）+…=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在没有任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。形成鲜明对比的是s增添新首项1得1+s=1+∑（-1+1）=1就打破了各项可一一配对的格局：其首项1只能“单身”，即其奇数项与偶数项不一样多！从而使其正数项与负数项不可一一抵消为0。这1+s显然是非可数级数！注！1+∑（-1+1）的各项不可一一配对，故其不可加括号为∑（1-1）。…。
可见，可数无限数列（级数）增奇数个项后就成为非可数无限数列（级数）了。显然相应有
h定理3：其奇数号元与偶数号元不可一一配对的“可数无限集”是似是而非的假可数集。
这就推翻了“定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集[3]。”。
{1，2，3，…}=N′
{1，2，3，…}=N
自识自然数5千年来一直无人识破此｛n｝≠彼｛n｝就使人不知百年自然数公理“N的各元n都有对应 n+1∈N”是一种错觉。从而使康脱…。以上拨开5千年迷雾地说明“N′=N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途：据N各元n的斜上方都有n+1∈N′而断定…，使人们坚信：谁说推翻了百年自然数公理和集论谁就是想出名想到疯了！
三、结束语
1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：下一代人将把集论当作一种疾病且人们已经从中恢复过来了。（张锦文等《连续统假设》20页，辽宁教育出版社，1988）。注意到这是集论问世30年后的预言，故有非凡科学洞察力的庞大师是对集论起码思考研究了20年才慎重作出此经深思熟虑的天才预言的。在一片叫好声中，智慧超群的天才大师超越时代地清醒坚信：凡不合实际违反真正物理常识的理论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认的“真理”的回天力。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]田开璞，现代科学数系论[M]，济南：山东科技出版社，1998.4：10。
[4]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
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再论两集不对等就更谈不上相等
——中学几百年重大错误：将两异集误为同一集
黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
【摘要】自有直线函数概念几百年来一直认定定义域为（0，1）的y=100x的值域=（0，100），其实是重大错误。几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x数轴等各不同的数轴误为同一轴。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。
[关键词]假自然数集；自然数公理；集论；前所未知的数轴；推翻
一、存在奇数与偶数不一样多的是假自然数集——推翻百年自然数公理
如[1][2]所述，非0自然数列（1，2）（3，4）…=N的奇数与偶数能一一配对而无一“单身”，而其各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得：1（2，3）（4，5）…= N′中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N′是似是而非的假N！而且关系式y=n+1>n=1，2，…（数列N）也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！
如[3]所述，“对于任何一个自然数n都有自然数y=n-1<n”是病句：有自然数yn”——自然数公理也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说y=n+1>n=1，2，3，…（y∈正整数集N）中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y>N的一切数——重大病句！关键是最起码数学常识：代表N内数的y可>式中数列的一切n。故若限制y∈N则y的定义域≠N。
故定义域为N的y=n+1>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为N ÉZ是搞错y的变域的重大错误。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
D～G表示D与G对等，就是说两集分别包含同样多（个）元素——两集相等的必要条件。两集不对等就更谈不上相等。
两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U增一元得U的真扩集U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。
由存在上述“单身”元的原因得[2]中的
h定理1（真扩集定理）：无穷集D～G的真扩集D+E=K必不～G而至少比G～D多含一元。即对等的两集的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
证：K=D+E的一部分D～G的元（阳）与G的元（阴）一一阴阳配对就将G的元都配光了，K还剩下E的各元都只能“单身”而无“妻”∈G，除非拆散已配对的相应多对“夫妻”（若E的元多于G的元则即使拆散全部已配对的，也不能使E各元都有“妻”∈G。）；表明K至少比G～D多含一元。证毕。
二、0<y<k不一定表示y的变域是（0，k）
由① 0<x<1得② 0<kx>x∈D+[1，k）=V也一目了然地表达V中有数x<<Z的一切元y,表明Z≠V而与D一样都只是V的一小部分。所以：
③ 0<y=x>另一正数x=y/k；而③式中的独立变量y就完全不受任何限制地能在区间V内任意变动取任何正数，即此y所取的正数y无须一定有远比其小的正数x=y/k与之相对应。
任何正数y都有对应数y/k都可k>1倍于别的正数吗？形如y=k（y/k）=kx>>x>0的数y都至少>一个正数,都有对应正数y/k=x, 将这类数称为B正数。由函数知识，Z包含了V的所有B正数y=kx>x∈D，即V内B正数的全体组成了Z。
定义域为D的f(x)的值域Z=V（B数）（V内所有B数组成的集）才是正确的，去掉“（B数）”就是中学数学重大错误：将V的一小部分：Z，误为V，从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“数学可不受最起码语文、科学常识：部分<全部的束缚”的“革命发现”。详论见[4]。
三、y=x轴与y=2x轴、y=x/2轴等各不同的数轴不可误为同一轴（点集）：y=x轴
若y=kx的定义域为x=y轴的线段D：0 1（珍珠的直径）则其值域就是相应y=kx轴的线段Z（地球直径）：0 … k。以上表明Z根本不同于x=y轴的线段V：0 … k。缘于它们的组成成员不同：V的元是点x而Z的元却是点kx。[5]提出了y=f（x）数轴概念：x=y轴的各个点均由x变换为点y=2x，x轴就变换为以点y（x）为元的y（x）轴。几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x等数轴混为一谈，就搞错了变量的变域。
不明此重大真相使康脱推出极荒唐病态理论：x=y轴的线段V可～它的一小部分D。
数学否定客观存在的“特异”数轴犹如医学否认客观存在的非典病毒——是致命错误。
花钱学习的亿万学生是消费者。故若消费者委员会对数学课本及教学是否有误人子弟的重大错误袖手旁观，就是极其重大的失职。
参考文献
[1]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形
——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267.
[2]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学
家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[4]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，
科学咨询，2007年10月第2期：29。
[5]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
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不知道是不是我理解错了本文稠密集的定义，说的好象不是http://en.wikipedia.org/wiki/Dense_set 定义的稠密集合。
所以有点不理解前四个NB在哪。。。按照定义任何一个区间都应该是稠密而且不可数的吧。那前四个应该都不是问题了
５，６，７中只考虑７，构造一个开区间序列，其中它们的下界是一个单调递增的收敛数列，而上界是一个单调递减的收敛数列，并且极限相同(nested intevals, see http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_intervals)
h定理1：可数无限集的任何一部分E都不～N（仅用一部分自然数就能将E的各元都配上自然数号码）。
h定理2：C+D（C～N）必不～N（N不够用）
这两个定理真逗。。。这样的文章真的可以发表么？
11楼的对“一一对应”的理解还是不深刻啊～
中学极显然重大错误：将两异集误为同一集
——续《百年集论确是”疾病”之理由》
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]揭示有用而不知的最大自然数和无穷大自然数。非常形象直观地显示中学重大错误：无穷数列{f（n）}中n>0的变域必是正自然数集N。“定义域为（0，1）的y（x）=kx的值域是（0，k>1）”是重大错误。
[关键词]最大自然数；标准及非标准无穷大数；假自然数列；推翻百年集论；变量的变域
设俯视图1：{①，②，③，…}=A表示一给定的有无穷多双项（一双项组成一组大项）的立体序列，其由上、下两个序列A1与A2组成，立体自然数都“悬浮”在“围棋白子”○上。类似有B：
{…，⑥，④，②，①，③，⑤，…}
的左（右）半边的数是偶（奇）数。A（B）的所有数组成N。A中正自然数列A1的下面是棋子○序列A2={○}～N（表示A2的○可与N的数一一配对）。
肉眼不能将A的项都看到，但人有逻辑推理能力，慧眼能洞察A的所有项是否都有“配偶”而不被肉眼所骗。肉眼不能察觉此桶水仅比那桶水多一个水分子，但慧眼能洞察此无穷集{n}比那{n}多（少）含一个数。注！符合实际的思想才能产生慧眼，否则产生傻眼陷入“不可知论”“科学终结论”泥坑。
A的各数都由n变为n+1后再增添新首项1得图2：
{1，②，③，④，…}（1下无○）=M
M各数与A2的○不可一一配对而总有一数下无○，表明M中的数比（A2～N中的）○多一个——意味M比N～A2多包含一个数——意味M中有超自然数>一切自然数！可见形如{1，2，…，n，…}的集不一定是N！即存在似是而非的假N！小学生也能看图1识“字”：
在A中：单独粉碎（增添）n个数后立刻就有n个○上（数下）没数（○）与之配对，无论如何重新配对。原因是A比原来少（多）了n个数，即上下两序列中的任一列一旦单独增减项就必打破原来数与○一样多的格局。故图1显示有
h定理1：任何序列与级数增（减）n个项后必比原来多（少）n个项。
证：P＝｛0，1，2｝与T=P+｛3｝的一部分P对等，表明T的容量>P的容量。同样“给两组无穷大数列中的各个数一一配对。…；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些，”（暴永宁译《从一到无穷大》12页，科学出版社，2002）G～G。给G增添一非空集得G的真扩集K＝G+H就极显然不～G了：K的一部分G的数x与原G的元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元都给结合光了，K还剩下H各元都无“配偶”∈原G，表明K至少比G多含一元。证毕。
[1]证明了 h定理2：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
故此序列{n}的项可多（少）于彼{n}的项。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认
识此革命真象使康脱康健离脱误入百年歧途。
图2的M各数都不动而各○都左移一个位置得{①，②，③，…}，“肉眼”就以为其中的数与○一样多。殊不知在无穷远处必有一数下无○。A的项也作此变动得{○，①，②，③，…}——假象：部分○可与全部数一一配对。希尔伯特：数学是研究无穷的科学。然而几千年“肉眼”阶段的数学恰恰对无穷的认识太幼稚片面而一直被其表面假象所迷惑。
符合实际的思想：不增减项的序列各项无论如何改变位置都不能改变项的多少。显然有
换偶原理：已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换妻”必还是可一一配对。否则就不合逻辑自相矛盾了。
故凡～N的集G的元都必可有“配偶”∈N，一个不漏！故G=N～N 的各非1元n+1都有配偶n∈N（所有配偶n=1，2，…组成U）的同时G的1也必可有配偶t∈N。极显然：t是U外的最大自然数！t+1是超自然数。同理在以下两都是N（～N的上N的元都有自然数配偶）的
{…，3，1，（2，4，…，2n，…}
{…，a2，a1，（1，2，…，n，…}
中，一目了然：下N小括号左边的数都是无穷大自然数>右边的一切n。详论见[2]。
以上立体思维“解毒药”使在康脱的病态“乐园”内陶醉了百年的数学一下子清醒过来：化学曾被错误燃素说统治百年，数学也被极荒唐的集论统治百年。
h定理3：若A各元x>0都有对应y>x，则所有y组成的B不可包含A而必至少有一x∈Ax∈A一目了然地直接表达A中有数x<B的一切元y。“对于B的每一元y（x）都有A 的x<y”显然表示A中有数x0变大为y=10x得以y为元的Z～D。⒈据h定理2,Z～D不可～D的真扩集KÉD从而更≠K! ⒉据h定理3,Z不可包含K 的一部分D表明Z≠K!
K中：D的元与Z～D的元一一配对后，D外的元x都不可有配偶∈Z，缘于K的元x多于Z的元10x——证明中学的“Z=K”是将两异集误为同一集。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
关键是“Z一切元y=10x/10∈DÌK”正确，而“K一切元x>x/10∈DÌK”是病句：K有数x/10<K的一切数x。这表明并非K各元x都有对应数x/10∈D。详论见[4]。
结语：在一片叫好声中，1908年著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信：不合实际违反科学常识的集论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。这不能不令人感叹庞是智慧超群的天才大师！
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！
限于篇幅本文只能挂一漏万.详论见[2]-[5]。
参考文献
[1]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；
[2]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J]，科技信息，2009（32）.
[3]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议
著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，
2009（4）；
[4]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。
[5]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267
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11楼那个是41吗？？
还有，12a楼，这里的稠密是指在实数集上稠密吧。
证：P＝｛0，1，2｝与T=P+｛3｝的一部分P对等，表明T的容量>P的容量。同样“给两组无穷大数列中的各个数一一配对。…；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些，”（暴永宁译《从一到无穷大》12页，科学出版社，2002）G～G。给G增添一非空集得G的真扩集K＝G+H就极显然不～G了：K的一部分G的数x与原G的元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元都给结合光了，K还剩下H各元都无“配偶”∈原G，表明K至少比G多含一元。证毕。
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