概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果，条件概率尤其如此。网络上每一次有人发帖提出与条件概率有关的悖论时，总会引来无数人的围观和争论，哪怕这些问题的实质都是相同的。
来看两道简单的组合数学问题：
1. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个A。请问他手上有不止一个A的概率是多少？
2. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个黑桃A。请问他手上有不止一个A的概率是多少？
这两个问题看起来很像，实际算法大不相同。在第一题问题中，
手上一个A也没有 有 C(48,13) 种情况
手上有至少一个A 有 C(52,13) – C(48,13) 种情况
手上恰好有一个A 有 C(48,12) * 4 种情况
手上有至少两个A 有 C(52,13) – C(48,13) – C(48,12) * 4 种情况
根据条件概率公式，手上有超过一个A的概率为(C(52,13) – C(48,13) – C(48,12) * 4) / (C(52,13) – C(48,13)) = 5359/14498 ≈ 37%
在第二个问题中，
手上有黑桃A 有 C(51,12) 种情况
手上没有其它花色的A 有 C(48,12) 种情况
手上还有其它花色的A 有 C(51,12) – C(48,12) 种情况
根据条件概率公式，手上有超过一个A的概率为(C(51,12) – C(48,12)) / C(51,12) = 11686/20825 ≈ 56%
有趣的事情出来了：如果这个人宣布了手中A的花色，他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。
这怎么可能呢？难道我们上面的计算结果是错误的？事实上，上面的计算并没有错：
沙发……
回复再看……
看了……
茫然了……
去年夏天去杭州数学夏令营的时候，讲组合数学的教授上来就拿这个问题做引子来着~
很容易理解……
因为有至少2个A的时候，就更可能其中一个是黑桃A……
令我想起了三门问题
聪明的解答！
回地毯：我们的教授怎么没有说……
借地方问道做不出的题
乒乓球单打比赛，选手A对选手B。
已知如果选手A发球，得分概率是a (0<a<1)，如果接对方发球，得分概率是b (0<b<1)。
有两种规则可供选择：
第一种规则两人每小分轮流发球。
第二种规则胜利者可以继续发球，失球后对手发球。
先得到n分的选手胜利。例如n ＝ 11，任何选手的得分先达到11就赢了。
一开始A选手发球。（所以如果两人轮流得1分，最后A赢）
求证：对于任何的a, b, n，两种规则下A选手的胜率一样。
拿到任意花色A的概率比单一花色的A的概率高 所以分母大了显得所求概率低了
虽然我知道算出的结果肯定没错，但如何来理解这个结论？想不通啊。
因为有至少2个A的时候，就更可能其中一个是黑桃A……
所以反过来，有一个黑桃A的条件下至少2个A的概率也比有任意A时大。
就比如说，A代表去研究某个问题的4个人，黑桃A代表最先解决的一个，
那么最先解决某问题的研究所很可能人手比较足。
这个其实很好理解嘛，只有手上确实是黑桃A的时候，才可能宣布自己手上有黑桃A嘛。
看了两天突然发现原来这个人说的一定是真话…
如果一副牌升级时无条件抢亮主3，那么有黑桃3的人和有主3的人手上有不止一个3的概率哪个大？
不妨设c=1-a，d=1-b。
假设按照第一种规则打的时候把2*n-1局打满，那么每一个最终小结果概率的形式都会是一串a和c（共n个）的连乘积乘以一串b和d（共n-1个）的连乘积，而且A胜当且仅当a和b的个数加起来>=n。
现在，按照第二种规则打时，树形图不是满的，接下来我们不继续用第二种规则，而用另外的规则把它补满：在某个终端结点处，如果A胜剩下的都让B发球，B胜都让A发球。
这样，小结果就可以一一对应了。我们把第一种规则下的一个小结果写成两行，一行n个a和c（A发球），一行n-1个b和d（B发球），将其对应于第二种规则补满后的小结果：
从第一行开始读。每次读到a或d（发球胜）就接着读，读到c或b（接球胜）就转到另一行，开始读第一个没读过的。
读到一方胜利后，剩下的一列的结果依次当作最后“补满”比赛的结果。
这样必然恰好有一列读完，因为如果最后A胜，那么A开始发了一次球，最后赢了一个球，中间的发球/赢球对应，恰把n个发球对应n分；B开始不发球，易知只发球n-1次。
接下来的证明就十分简单了。
理解起来还行吧
如果这个人宣布手里有黑桃A，那么剩下不多于三个A在另外三家的，肯定不会包括黑桃A了。
如果这个人宣布手里有A，那么剩下不多于三个A在另外三家的，却要在四个A里面随机。
稍微改一下：
四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个A，并且说出来这个A的花色，请问他手上有不止一个A的概率是多少？
这是不是就跟第一个问题一样了？
不过如果他有2个A的话，“我有A”这句话只能说一遍
但是“我有黑桃A，我有红桃A”可以说两遍
18楼和问题1是一样的。问题2的主要不同就在于只能声明黑桃 而不能是其它花色 所以文章末段“ 有趣的事情出来了：如果这个人宣布了手中A的花色，他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。”是模糊的表达
其实这个问题让人混淆的原因在于概率被约分了，掩盖了本来庞大的情况总数。
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不能说：如果这个人宣布了手中A的花色，他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。
参考那个门后边有羊的问题，概率不能简单的根据情况数算
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如果你问他，是否有黑桃A，他说有，那结果应该按照第二种方法算
但是如果他宣布有至少一个A，之后再宣布有黑桃A，那概率不会变
因为他是从他有A之中选出一个宣布的，如果没有黑桃A，他不会宣布自己没有黑桃A，而是随便再宣布一个别的
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请问，概率论有什么经典的教材吗？
典型的信息博弈，打牌双方的信息时不对称的，的确可以作为欺骗手段的！
20楼Jack点出了问题关键
就是说，如果游戏一开始大家规定好，四人中任何一人拿到黑桃A，就喊：“我拿到了黑桃A”，那么当某人喊出来时，他有两张以上的概率为56%
但是如果游戏一开始只是规定，四人中任何一人只要拿到A，就喊：“我拿到了A”并宣布花色，这样当某人喊出来时，他有两张以上的概率就只有37%
如果有人不懂，可以把命题简化一下，就用两张A，两张K来计算就可以了，组合分别为A1A2,A1K1,A1K2,A2K1,A2K2,K1K2,
如果只说有A，那么就是1/5，如果说有A1,那么就是1/3。
这个不能算是一个悖论吧，清楚的很。
下面的分析是基于*“概率”等价于“不确定事件发生可能性大小的量度”*这一假设展开的。
“概率”在这个问题里面只对解题的我们有意义，那是因为我们并不确定每个人手上A的分布如何。而这个问题符合古典概型的条件，因此我们(仅仅是我们解题者，而不是那个人)在这里讨论概率是有意义的。那个人的声明其实是对(对于我们来说的)概率事件{他手上有不止一个A}的一种有用信息的补充。我们掌握的有用信息程度不同，自然会得出事件发生(或不发生)的可能性大小的不同。条件概率中“条件”的含义也在于此。“有黑桃A”明显就跟“有A”相比所包含的信息量不一样，因此而得出可能性大小计算不一样也应该是可以理解的。
举个极端点的例子，假如那个人的声明分别改为“我手上有2个A”和“我手上有没有A”，那么我们依然可以根据条件概率的定义(而不是常识)计算出其概率值分别为1和0。而其实这些声明在条件概率计算中的地位是一样的，都不过是一些对问题有用信息的补充。如果这个例子可以接受，那就没有理由不能接受上面的例子。
这一题题设有误：
1. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个A。请问他手上有不止一个A的概率是多少？
2. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有一个黑桃A。请问他手上有不止一个A的概率是多少？
1中那个人说他有一个A时，如果他说的是真的，那么他手上有不止一个A的概率是0；而解答中对其所说的有一个A这一条件根本没有作考虑，应该把题1改成：“ 1. 四个人打桥牌。其中一个人说，我手上有A。请问他手上有不止一个A的概率是多少？”
这时问题就没有谬误了，2中多给出了黑桃A这一信息，将A的范围缩小（在考虑发言人说真话的情况下）。
我用湮灭来胡言乱语一下下
第二种情况成立的时候的确概率大。
但是这两种情况成立的本身就是一个概率。
即你手上有一个A的概率，要远远大于你手上有一个黑桃A的概率。
貌似这个又成为一个条件概率了。
楼下的元芳，你怎么看
子空间”手中至少有n个A”包含在在子空间”手中有A”中，但是不包含于子空间”手中有黑桃A”中，因此第二种求条件概率的公式有误。
我们把第一问中”手中有不止一张A”记作事件X，把第二问中”手中有不止一张A”记作事件Y。如果我们认为这两个事件是同一个事件，就会引起悖论。而事实上这是两个不同的事件。比如只有一张红桃A，一张方块A是事件X的一种情况，却不是事件Y的一种情况。从而两个事件的样本空间就不一样了。所以第二问的提法应该是还有至少一张其它花色A的概率。
同意20楼说的。这导致此题不是一个纯的数学问题，而是自己设置了一个模糊的概念把自己给弄蒙了
数学还能用在打牌上，这什么理论啊
”。。。如果这个人宣布了手中A的花色，他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。’这个话说的不对，应该解释为;如果这个人告诉了我们更精确的信息，那么我们可以对他手里的牌进行更精确的估计。从信息论的角度讲，获取了更多信息意味着互信息量更大，也就是说概率变化量会更大（信息的表达带来的就是概率的变化量，条件概率不变则意味着没有任何信息得到表述，一个说真话和假话概率分别是1/2的人所说的话没有任何信息）。如果什么都不知道，那么某某有2个A的概率约2/9,很明显宣布了手中A的花色后算出来的概率变化量更大（绝对值）！同样的楼主可以试试某某说了自己有3A之后，有4A的概率？
两者样本空间不一样，没有可比性的。