Ptolemy 定理是平面几何中非常漂亮的定理：圆内接四边形的对边乘积之和等于对角线的乘积。具体地说，如果把一个圆内接四边形的四条边顺次记为 a 、 b 、 c 、 d ，把两条对角线的长度记为 e 和 f ，那么一定有 a · c + b · d = e · f 。 Ptolemy 是一个非常重要的定理，由它出发可以得出很多推论。例如，在圆内接矩形上应用 Ptolemy 定理，可以立即得到勾股定理。下面是另外两个可以用 Ptolemy 定理来解决的问题：证明余弦定理，以及构造两两间的距离都是整数的点集。
William Derrick 和 James Hirstein 在最近的 The College Mathematics Journal 上给出了下面这个 Ptolemy 定理的无字证明，你能看明白吗？
左图是一个圆内接四边形，由于同弧所对的圆周角相等，因而图中会产生四对相等的角，我们用 α 、 β 、 γ 、 δ 来标记。由于圆内接四边形对角互补，因此有 α + β + γ + δ = 180° 。现在，把阴影三角形放大到原来的 f 倍，这个三角形的三边将会变为 a · f 、 b · f 、 e · f 。把红色三角形放大到原来的 b 倍，于是三条边的长度将会变为 b · a 、 b · d 、 b · f 。注意到两个放大后的三角形都有一条长为 b · f 的边。同样地，把蓝色三角形放大 a 倍，三边长将变为 a · b 、 a · c 、 a · f ，它和放大版的阴影三角形都有一条长度为 a · f 边。因此，我们可以像右图那样，把三个放大版的三角形拼到一起。由于 α + β + γ + δ = 180° ，因此右图中上面那三个点是共线的，整个图形是一个四边形。观察四边形四个内角的关系可以很快看出，这个四边形是一个平行四边形。因而，它的上下两条对边应该相等，于是有 a · c + b · d = e · f 。
来源：http://www.cut-the-knot.org/proofs/PtolemyTheoremPWW.shtml
图形就是直观
第1
牛
前排占座!
稍微改一下图，就可以证明广义的托勒密定理，即任意四边形 a · c + b · d >= e · f ,当且仅当四顶点共圆取等号。
我去竟然是这个月新出的。这个看起来像是十分古老的东西呢。
另外强迫性地用三角函数算了一遍- –
最喜欢这种证明了……
用两个长度的乘积来表示一个长度很不能理解 :-(
我搜KMP算法时搜到你这个博客。感觉真的不错呀！！！！而且从你的资料看到你是北大语言专业的，瞬间石化呀。。。北大就是牛人多。。。
赞，还能这样！
to地幔，想成无量纲就行啊
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@shincepu: 我还是想成除了个单位长度吧
把红色三角形放大到原来的 b 倍，于是三条边的长度将会变为 b · a 、 b · d 、 b · f 。这句话有歧义，我以为是面积放大b倍，因为受前面那个阴影三角形放大f倍影响
建议改成每个边放大b倍
写的不错
漂亮的证明！
哇，这也太厉害了，最喜欢这样子的数学，感觉非常优雅~~
犀利啊
有种瞬间回到高中上数学竞赛的感觉，记得当时联赛省赛区的平面几何题就是利用广义托勒密定理
数学的魅力都浓缩在一张图里了，震撼
用张角关系和面积方程也很好证
喜欢这种思考方式
漂亮。
事实认证更有说服力，不错
同感14楼
fantastic
北大真得都是一些像你这样的人吗？很好奇北大学生都是怎样的
to 地下室：
不用改图了，一看就是了。
当且仅当四点共圆时， α + β + γ + δ = 180° ，右图中上面那三个点共线，a · c + b · d = e · f 。
否则三点不共线，根据平行四边形对边相等、两点间直线距离最短可知a · c + b · d > e · f
最简洁的还是复数证明，由此导出Ptolemy不等式。
我从科学网上看到别人对您博客的介绍，很好奇，发现真的不错。我是一个普通的中学老师，很希望和您联系。
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