Menelaus 定理是平面几何中用于判断三点共线的一个常用定理。在 △ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 BC 、 AC 、 AB 所在直线上，若 D 、 E 、 F 三点共线，则有 AF/BF · BD/CD · CE/AE = 1 。 Menelaus 定理的证明方法有很多，今天我见到了我所见过的证明方法中最帅的一种，它解决了之前很多证明方法缺乏对称性的问题，完美展示了几何命题中的对称之美。
过 DEF 所在直线作一个新的平面（没错，辅助线做到三维空间中去了）。分别过 A 、 B 、 C 作原平面的垂线，与新的平面交于点 A’ 、 B’ 、 C’ 。于是，我们有：
AA’ / BB’ = AF / BF
BB’ / CC’ = BD / CD
CC’ / AA’ = CE / AE
三式乘在一块儿，结论得证。
妙啊，感谢博主分享！
这么屌~！ wow~
喜欢的你的blog就像喜欢看小说一样。最好每天能一更
靠。。这辅助线作得真风骚。。。
果然帅~
好懷念的定理,好簡潔的證明!~
延长FD，与过B的与CE平行的直线交于G。AF/BF=AE/BG, BD/CD=BG/CE, 这种证明方法不也很简洁吗？
还可以分别过ABC做DEF的垂线，把斜线段的比转化为垂线的比，简洁对称，而且不用扩展到空间里去……
二图B’E线改成B’FA’线
这个方法真的简洁了吗？我很想看详细证明内容。不知道作者是怎么证明B’DC’、EA’C’、B’FA’三点共线？
霸气！
关于楼上的，不妨将垂线改成：分别过AB,BC,CE做面ABC的垂面，然后在这三个平面上做A,B,C的垂线，这样就不需要证明三点共线了
同地板，从没有见过这么风骚的辅助线
12楼说，『分别过AB,BC,CE做面ABC的垂面，然后在这三个平面上做A,B,C的垂线』，分别过AB,BC,CE做面ABC的垂面，那么就有三个面了，本身这三个面相交就有三条面ABC的垂线，根本不需要『然后在这三个平面上做A,B,C的垂线』。
我依然不知道你们怎么证明B’、D、C’三点共线（以及E、A’、C’三点共线和B’、F、A’三点共线）???
agree with addio, it is not so obvious that those points are at the same line.
这个证明 太妙了！
我想到：『三点共线，那么三点在空间任一平面的投影是否也共线？』答案似乎是肯定的。
但我不知道是否有这样的证明？亲爱的作者们能否给我释疑。
B’ D C’ 三点既都在辅助面上,又都在平面B’BDCC’上,所以在它们的交线上.
∵平面BA’A∩平面ABC∩平面B’C’E=点F ∴点F∈平面BA’A∩平面B’C’E=B’A’ ∴F,B’,A’三点共线
一刀切两个相交平面,在交线上都只有一点
看来，是我想太多了
这个定理的逆命题成立么？
好像明显成立，傻了我
oh my lady gaga
so cool!
辅助线够酷！
真是神一样的证明啊～～～
拜伏！
BDCB’C’是共面的，该平面与B’C’E的交于B’，C’，D，这三个点肯定共线
这辅助线……风骚的一塌糊涂啊
把你的博客出书吧。
你的图形用什么软件画的？告诉一下好么？谢谢！
简单对称的证明有很多啊，随便做一条直线，把所有点投影到这条直线上就可以了。Menelaus 对于任何平面图形都是对的，不一定要三角形
把EBC看做分配不同质量的质点，F看做这个系统的重心，则BD/CD=m_C/m_B,AF/BF=m_B/m_A,CE/AE=m_A/m_C,即可。
这个证明不是更帅吗。。
这个。。杂七杂八的证明本就多如牛毛。。关键是Menelaus’ theorem其本身就超级帅的啊。。
是很帅啊 学习了
有更新吗？又推送到 google reader 里面了这篇。
Google Reader又显示更新了，我还以为你又发了一遍。。。。
太漂亮了！！ 爱死你的楼主
用三维的来证明二维的，太有创意了，Excellent！
是啊，凡是求助高维的辅助线都是很风骚的。谁能给我在时间上做一条辅助线让我知道下一期的彩票头奖号码？
方法很漂亮…不过如果说判断三点共线, 应该是这个命题的逆命题, 当然逆命题也是成立的…
恩 不错的 蛮酷的咯
简单对称的证明有很多啊，随便做一条直线，把所有点投影到这条直线上就可以了。