下面的题目来自 2025 年孟加拉国数学竞赛的第 1 题
有一个小岛，上面的居民要么只说真话，要么只说假话。某个房间里有几位岛民，其中三位岛民分别说了下面三句话。
- 这个房间里的人数不超过 3 人。所有人都是说假话的人。
- 这个房间里的人数不超过 4 人。不是所有人都是说假话的人。
- 这个房间里的人数为 5 人。至少有 3 个人是说假话的人。
房间里有几个人？其中有几个说假话的人？
趣题
Nim 游戏的若干变种
今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。这是该系列的第三篇。
今年的数学益智游戏展有一个特色，就是到访者可以购买一个小册子，这可以为自己的参展体验加分。我们内部把它叫作“任务单”。任务单里有很多任务，对应了展会中的各种项目。完成任务可以获得印章，赢取奖励。为了增加任务单的附加价值，任务单上还附赠了很多简单展品的高级玩法说明。这里举一个有趣的例子。
展会现场有很多冰糕棍，可以用来做冰糕棍炸弹。任务单上给出了冰糕棍的另一种玩法——Nim 游戏。将冰糕棍从左到右摆成若干堆。两人轮流从其中一堆冰糕棍中取走任意数量的冰糕棍（可以全部取走，但不能不取）。取走最后一根冰糕棍的玩家获胜。
考虑到任务单的读者可能已经熟悉 Nim 游戏了，因此为了让所有人都能有新的收获，我补充了一些不太常见的 Nim 游戏变种。我一共准备了 10 条补充规则。游戏开始前，双方可以任选其中一条来玩。
- 每次只能从最左端或者最右端的那一堆中取冰糕棍。
- 每次只能从冰糕棍数最多的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最多的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。
- 每次只能从冰糕棍数最少的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最少的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。
- 第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才不同的堆中取冰糕棍。
- 第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才相邻的堆中取冰糕棍。
- 第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才相同的堆中取冰糕棍（除非刚才那一堆被取完了）。
- 每次取完后，还可以再从另一堆中取走同样多的冰糕棍。
- 每次取冰糕棍的数目改为最多 3 根。
- 取走最后一根冰糕棍的玩家算输。
还差一条，应该写什么呢？我有三个备选方案。大家可以猜一猜，我最后用了哪个方案。
- 游戏双方各有一次“跳过”的机会。
- 游戏中有一次“跳过”的机会，任意玩家使用后该机会作废。
- 每次对方取完后，如果他还有别的取法，你便能要求他该轮换一种取法。
怎样给孩子设计一些好的谜题
今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。顺便结合一下这几年的经历。这是该系列的第二篇。
两个孩子经常早晨 6 点就醒了，然后频频闯进我们卧室，给我们看他们用纸折的袜子，用乐高搭的袋熊，用水彩笔画的比萨，搞得我和孩子他妈没法睡觉。去年 5 月份左右，孩子他妈想了一个办法：在我们卧室门口放了一个纸糊的小信箱，让孩子把要给我们看的东西放信箱里。现在早晨果然能多睡一会儿了。几天后，孩子闹着说，他们想让自己的屋子门口也有个信箱。孩子他妈真又做了一个弄上去了。在信箱里放啥呢？于是我决定每天给孩子设计一些印在纸上的小活动，比如照图示折纸呀，比如看图编对话呀，比如自制两可图呀，等等。当然，还有很多我专门设计的谜题。
每个面都是凹多边形的多面体
昨晚做梦，梦见了一个有趣的数学问题：有没有什么多面体，它的每个面都是凹多边形？有趣的是，接下来我梦见自己醒了过来，然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文，论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展，于是踏上了拜访作者本人的路……
然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子。下图是我很喜欢的一个例子。整个多面体由12个全等的凹多边形组成。
趣题：切完大饼和蛋糕，让我们切一切甜甜圈
我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？
- 3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？
- 4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？
- 3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？
提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。