下面这个问题来自 2015 年俄罗斯数学竞赛。
一个正方形棋盘能沿着网格线分成 n 个大小形状相同的小块，每块都有 k 个小格。证明：这个正方形棋盘一定能沿着网格线分成 k 个大小形状相同的小块，每块都有 n 个小格。
组合数学
复原小时候见过的数学魔术
今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。顺便结合一下这几年的经历。这是该系列的第一篇。
有一个经典的数学小魔术。把 0 到 63 之间的数写在 6 张纸条上，其中第 1 张纸条上写着二进制表达中右起第 1 位数字为 1 的数，第 2 张纸条上写着二进制表达中右起第 2 位数字为 1 的数，第 3 张纸条上写着二进制表达中右起第 3 位数字为 1 的数，等等。给人展示 6 张纸条，问他“你的年龄出现在了哪些纸条里”。对方给出的答案就相当于告诉了你，他的年龄的二进制表达中各个地方是 0 还是 1。你就能报出他的年龄了。
今年的展会有一个主题就是过年。我们打算设计一个类似的小魔术，只不过把年龄改成生肖。由于生肖有 12 个，因此 4 张纸条就可以做到这一点。
称假币问题的变形：无假币与“天平机”
大家应该听说过 9 枚硬币的问题吧。9 枚硬币当中有 8 枚是真币，有 1 枚是假币。所有的真币重量都相同，假币的重量则稍重一些。怎样利用一架天平两次就找出哪一枚硬币是假币？方法是，先把 9 枚硬币分成三组，每组各 3 枚硬币。然后，把第一组放在天平左边，把第二组放在天平右边。如果天平向左倾斜，说明假币在第一组里；如果天平向右倾斜，说明假币在第二组里；如果天平平衡，说明假币在剩下的第三组里。现在，假币的嫌疑范围就被缩小到 3 枚硬币之中了。选择其中 2 枚硬币分放在天平左右两侧。类似地，如果天平左倾，就说明左边那枚硬币是假的；如果天平右倾，就说明右边那枚硬币是假的；如果天平平衡，就说明没放上去的那枚硬币是假的。
9 硬币问题实在是太经典了，你甚至能在人教版小学五年级下册的课本里看到它。9 硬币问题还衍生出了很多变形，其中最著名的当属 12 硬币问题了：有 12 枚硬币，其中一枚是假币，但我们不知道假币是更重一些还是更轻一些；请利用一架天平三次找出哪一枚硬币是假币，并判断出它比真币更重还是更轻。12 硬币问题的经典程度恐怕不亚于 9 硬币问题。早在 20 世纪 40 年代，12 硬币问题就已经吸引了一大批数学家和数学爱好者，甚至有人建议把这个问题扔到德国去，以削弱德国人在二战中的战斗力。如果你想知道答案，可以在网上找找，应该很容易找到。我们今天就不讨论了。
今天，我们真正想聊的其实是这个问题的另外一种比较少见的变形：仍然是要在 9 枚硬币当中寻找 1 枚假币，仍然假设假币的重量要稍重一些，仍然只能使用天平两次；但是这一次，你所使用的是一种“天平机”，它不会立即告诉你现在是哪边重哪边轻，而是在你两次称完后把这两次的结果一并打印给你。这下，你就没法根据天平的反馈结果随机应变了，必须事先把每次怎么放硬币全规划好。那么，你该怎么办？在本文后面的内容中，均已知假币比真币更重，直至另有说明。
位换记号、排列测试与状态图：杂耍中的数学
2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日，第 39 届欧洲杂耍大会（European Juggling Convention）在荷兰的阿尔梅勒举行， 8 月 3 日凌晨的搏击之夜（Fight Night）自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗（combat juggling）这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里，有两个响当当的大名你必须要知道：德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二，之前拿过 6 次搏击之夜的冠军；英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一，之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中，两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强，并在淘汰赛阶段过关斩将，最终成功在决赛场上相遇。最终，世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke ，夺得了又一个搏击之夜的冠军。
杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时，两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方（但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒，不能针对对方的手臂和身体）。谁站到最后，谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。
典型的一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛。
UyHiP 趣题：几个特殊的强正则图
下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目，稍有改动。
屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗？有可能。比方说，屋子里有 9 个人，其中 8 个人正好组成 4 对朋友，第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人，如果两个人是朋友，就在他们之间连一条线。
除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况，比如下面这样：
