去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一，很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料，学习到了更多关于位运算的知识，有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章，与其说是原来那篇文章的follow-up，不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。
什么是位运算？
程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了，就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如，and运算本来是一个逻辑运算符，但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子，6的二进制是110，11的二进制是1011，那么6 and 11的结果就是2，它是二进制对应位进行逻辑运算的结果（0表示False，1表示True，空位都当0处理）：
110
AND 1011
———-
0010 –> 2
由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转成十进制，因此处理速度非常快。当然有人会说，这个快了有什么用，计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你，位运算到底可以干什么，有些什么经典应用，以及如何用位运算优化你的程序。
Pascal和C中的位运算符号
下面的a和b都是整数类型，则：
C语言 | Pascal语言
——-+————-
a & b | a and b
a | b | a or b
a ^ b | a xor b
~a | not a
a << b | a shl b
a >> b | a shr b
注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834，但520||1314=1，因为逻辑运算时520和1314都相当于True。同样的，!a和~a也是有区别的。
各种位运算的使用
=== 1. and运算 ===
and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.
=== 2. or运算 ===
or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。
=== 3. xor运算 ===
xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。
xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。
下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@（我怎么找不到那个圈里有个叉的字符），这两个符号互为逆运算，也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令，结果是什么？x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y
执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。
加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a + b;
b:=a - b;
a:=a - b;
end;
好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
=== 4. not运算 ===
not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。var
a:word;
begin
a:=100;
a:=not a;
writeln(a);
end.#include <stdio.h>
int main()
{
unsigned short a=100;
a = ~a;
printf( "%dn", a );
return 0;
}
如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。
=== 5. shl运算 ===
a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。
=== 6. shr运算 ===
和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。
位运算的简单应用
有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。在搜索时，把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。
下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。
功能 | 示例 | 位运算
———————-+—————————+——————–
去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1
在最后加一个0 | (101101->1011010) | x shl 1
在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
把最后一位变成1 | (101100->101101) | x or 1
把最后一位变成0 | (101101->101100) | x or 1-1
最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1
把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
取末三位 | (1101101->101) | x and 7
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)
把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)
把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)
取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))
最后这一个在树状数组中会用到。
Pascal和C中的16进制表示
Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。
整数类型的储存
我们前面所说的位运算都没有涉及负数，都假设这些运算是在unsigned/word类型（只能表示正数的整型）上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢？下面两个程序都是考察16位整数的储存方式（只是语言不同）。var
a,b:integer;
begin
a:=$0000;
b:=$0001;
write(a,' ',b,' ');
a:=$FFFE;
b:=$FFFF;
write(a,' ',b,' ');
a:=$7FFF;
b:=$8000;
writeln(a,' ',b);
end.#include <stdio.h>
int main()
{
short int a, b;
a = 0x0000;
b = 0x0001;
printf( "%d %d ", a, b );
a = 0xFFFE;
b = 0xFFFF;
printf( "%d %d ", a, b );
a = 0x7FFF;
b = 0x8000;
printf( "%d %dn", a, b );
return 0;
}
两个程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前两个数是内存值最小的时候，中间两个数则是内存值最大的时候，最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的：计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现，二进制的第一位是用来表示正负号的，0表示正，1表示负。这里有一个问题：0本来既不是正数，也不是负数，但它占用了$0000的位置，因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后，最高位的变化将导致正负颠倒，并且数的绝对值会差1。也就是说，not a实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。
最后还有两句话
Matrix67原创
转贴请注明出处
有收获..
建议下次写篇<Matrix67简介及使用技巧>_基础/提高/大牛篇.
不错不错,很基础&使用,期待(二).
以及LS说的那篇~~
今日下午在某 OI 群里得到了一个更直观的对 xor 的解释:
xor 的意思就是 "是不是不一样"
回复：是啊，所以说才叫“异或”嘛
>>对于一个整数a，-a和~a+1的值是相同的。
这个是正确的么？
我做了一下，
根据定义有： Not a+1=upperlim-a+1
那么原式化成： upperlim+1=0
对于无符号类型(word,dword,qword)肯定是正确的。
但对于有符号类型，如integer，upperlim=$7FFF，显然$8000<>$0000…………..
于是我又写了一段程序，看看是怎么回事：
var
a:integer;
begin
a:=50;
writeln(not a+1);
readln
end.
答案是-50………
那么integer的upperlim就不是32767了，那是多少？
我又写了一段程序：
var
a:integer;
begin
a:=50;
writeln(not a+a);
readln
end.
答案是-1。
这说明integer的upperlim是65535。
这样看来，对于有符号类型的not运算的定义应该是：与该类型对应的无符号类型的上界与被运算数的差。
不知道是否正确。请指教，谢谢。
另外，希望大牛讲补码的那一部分准确一些，会误导初学者的。
回复：位运算是在二进制位的基础上定义的，not运算的定义是把内存中的0和1全部取反
对于无符号类型，取反后的效果就是把这个数在数轴上的位置“对称翻折到另一边去”，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。
而对于有符号的类型，取反后最高位的变化导致了正负颠倒，又因为负数储存使用补码，所以效果就是变为-a-1。这与上下界没有任何关系
P.S. 文章最后一段容易误导人，我把它删了
理解了，谢谢matrix67。
回复：文章重新整理了一下，删改了一些东西
来挑错。。。0010（2）=2（10）。。。
回复：谢
看来没有机会在NOI前看完了……
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x or (1 shl (k-1)) – 1
wrong?
1 shl (3-1) = 000100
000100 or 101101 = 101101
101101 – 1 = 101100
Is this right??
回复：谢谢提醒
新加的，没验证，果然写错了；改过来了：
把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
问一下：怎样取右数第k个数？
e.g:
101101 , k=4 , ans=1
101101 , k=5 , ans=0
我自己想到了
x[i]:=(x shr (i-1)) and 1
回复：不错！我把这个加进去了
不愧是matrix67大牛啊！
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
Wrong
回复：sorry，没看到哪里有问题；取末5位时第5位上的0是前导零，我省略了
抱歉——没看到是0[muteness]
有点用余光看文章…… – -||||
取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
发现一个更有意思的计算：
取右边连续的1 | (100101111->1111) | x – x and (x+1)
回复：有意思；但是这个减法……耗时了
谢谢了，
位运算有个质的飞越…
觉得也许有必要介绍C++的bitset…
补充一下什么叫原码，反码，补码，
原码，二进制中第一个数表示是正数还是负数（如matrix67所说) ，剩下的数表示所要表示的数的绝对值.
比如，0010=2, 1010=-2
反码，因为原码在计算机中不方便，引入了反码，反码就是负数在二进制中除了第一个数表示符号外，其他的数都
依次取反，比如127=01111111，而-127=10000000；
补码，虽然反码方便但是在计算中会错（正数和负数的计算），因为0000=0,1111=-0=0;有两个数表示
同一个数，所以在计算中会少一，补码就是在负数的反码上加上一。
比如-5=11111010（反码），补码为-5=11111011。
回复：不错，谢谢补充！
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
依然觉得这句话有问题，上面说取末K位，且K=5，为什么转化后只有4位
应该改成是 x and (1 shl (k+1)-1)
SORRY
没看到下面的人已经问了，一时头脑发热，我说的那个错了，Matrix67 正解
请教一下
procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
procedure swap(var a,b:longint);
var
t:longint;
begin
t:=a;
a:=b;
b:=t;
end;
那个快一些呢?
回复：自己写一个循环运行10000000次的程序来测一测吧
第二种快一些
果然牛！学习了！
[smile],谢过
= –
快排里的swap用
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
会出现a和b代表相同元素的情况交换出‘0’
对ls：
我用C++写的这个总有一个是0：
inline void swap(long& a,long& b) {
a^=b^=a^=b;
}
可就是想不通……
楼上两位看我的一篇文章吧：
http://hi.baidu.com/%B5%D8%D0%CE%D6%AE%CA%D7/blog/item/0ee3155142347f1b377abe4f.html
a shl 1比a * 2更快 应该是a shl 1比a^2更快吧?忙碌的matrix67打错了…..
能请教一下a and -a怎么理解么?
前面添一个”-“怎么理解??
26楼，你真牛， a << 1 本来就是 a*2 的意思。
末k位取反： | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
算出来是33=100001
怎么算出来不对？？
，，我的错。
没注意优先级。
楼层: 20楼 | 2007-11-10 15:14 | xia0ji 说：
请教一下
procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
procedure swap(var a,b:longint);
var
t:longint;
begin
t:=a;
a:=b;
b:=t;
end;
那个快一些呢?
回复：自己写一个循环运行10000000次的程序来测一测吧
我测试了30000000的操作，xor明显较慢，这个是为什么？是不是赋值操作比xor运算快些。
用+/-swap两个变量a、b的值，在a+b阶段若两个数很大，容易超界，如果适用xor会比较安全
“有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。”
这样的话就只能记录哪些格子已经填了，但是没法记录填入的数字。
应该是有temp的算法快一些吧
两种都有3次赋值， 而诡异的多了3次xor运算
记得在初二那会儿刚学编程，准备10天后参加noip初赛，给的初赛资料上就有反码跟补码，记了半天，结果5年来noip初赛都没考过……
不过初二刚学10天就过了初赛感觉还是不错的
M67大牛，能不能用位运算先算出某个十进制数的二进制有多少位？如果能的话我们以后输出十进制数的二进制不就快多了吗？
谢谢一下 M67
很有收获 位运算可以解决哪些问题?
写了这么多年。碰到就来查查。呵呵。好用。
M67 干的不错。
写了这么多年。碰到就来查查。呵呵。好用。
M67 真干的不错。
啊！ 42层！ 是银河系漫游指南的终极答案吧！ 呵呵！ 第一下没有反应过来！ 第一次注意到42楼这个彩蛋。。 赞M67。赞道格拉斯~！
有帮助，谢了
很详细……很佩服 看后收获很大
强大！学习了！
确实不错，只是用处不是特别大
Orz Martrix67 神牛…………
明天就NOIP2009了
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
这个有歧义 左边k位还是右边k位
取末k位(1101101->1101,k=5)为x and (1 shl k-1)
我认为应该有点儿问题
1 shl 4 = 10000
那么： 1101101 and 10000 =1101101 and 0010000 = 0000000 = 0
而不是 1101
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
这里的k应该是4吧！
高手 我正备战NOI 希望matrix67牛提供一些noi的资料(关于编程技巧,与一些可以优化时间的方法)
如前面所说，取末k位(1101101->1101,k=5)为x and (1 shl k-1)
好像有问题，应该是取末k位(1101101->1101,k=4)为x and sum( 1 shl i-1))(i:k->1)
哦 原来那个也对 不过应该加括号吧 优先级问题 应该加上括号吧 即
取末k位(1101101->1101,k=5)为x and (（1 shl k）-1)
感觉上，
去掉右边第一个1的左边部分
可以写成
x and -x
貌似会快一点…
经证实，在C情况下
Xor交换是变量交换用时2.97倍
另外发现
__int64运算速度是int的2倍
貌似最新版本的FP会将shl 1直接替换成 *2
必须顶~
Xor 的 Swap若在a=b时会a=b=0
把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
这里好像不对..
在SWAP运算中，实际我们还是用了第三个参数，那就是那两个数与它们的异或运算的关系，这两个关系很巧，刚好是一样的。所以我想XOR在这个运算中并不算独特，用两个数的平均运算，一样能够达到这种效果。
文章最后整数类型的存储pascal的代码用Free pascal运行不过啊
a<<1|1
a<<1+1
a<<1^1
太感动了!楼主..
功能 | 示例 | 位运算
———————-+—————————+——————–
去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1
在最后加一个0 | (101101->1011010) | x shl 1
在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1 or 1
把最后一位变成1 | (101100->101101) | x or 1
把最后一位变成0 | (101101->101100) | x and -2
最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1
把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
取末三位 | (1101101->101) | x and 7
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)
把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)
把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)
取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and -x
M牛~请问如何得到一个二进制数的最高位啊。？比如 10010001我就需要一个10000000
楼上
and 取某一位的值
or 设置某一位的值
b <- a & 10000000
阿拉~你的关于not演算的C语言代码是错误的… 应该是prinf(“%hun”, a); 然后就是C++标准没有规定负整数必须用补码存储。
我是来看42楼的
那个诡异的swap很不错啊！而且a=b时也是没有问题的。
在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
不知道pascal中优先级如何，不过貌似C/C++中
+的优先级比<<高
此程序有个小bug：
procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
如果，a == b；则结果
a 为 0；
b 为 0；
写错了，在c实现的过程中：
void swap(int *a,int *b)
{
*a = *a ^ *b;
*b = *a ^ *b;
*a = *a ^ *b;
}
如果这样调用
int a=3,b=3;
swap（&a,&a）; //出错
swap（&a,&b）; //正确
回复第63楼，
没错！
“把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)”
可能加个括号更清楚。
x or ((1 shl k) – 1)
对一个知识点的学习，你是如何能够这样的，即系统全面，又比较深入，而且对一些重要细节又不致忽略？
Matrix67大神，你的取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)错了吧，如例子中，取末5位，即
1101101
& 10000
——-
0
但答案应该是0才对啊
是不是应该改成x and ((1 shl k)-1)这里有减法，会慢些，或者Matrix67大神再给个改正的？
你是如何能够这样的，即系统全面，又比较深入，而且对一些重要细节又不致忽略？
再加上两个：
将最右边的1变成0 ： x&(x-1)
将最右边的0变成1 ： x|(x+1)
将最右边的1变成0 ： x&(x-1)
可以用于计算一个数有多少个二进制的1
不错不错！
id 为 153 文章链接挂了,看来这篇文章写之后才美化的url
开头说的位运算的[]Blog](http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=153)404了
谢谢分享！
来看看，顺便看看评论
是否能具体解释一下树状数组中x and（-x）
ORZ
常见位运算变换操作没注意优先级吧，我用C语言打，<>的优先级比减号优先级低
1314520 xor 19880516 = 20665500
请问这里的异或是怎么得出来的结果呢
000000000101000000111011011000
000001001011110101101001000100
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