这个 Blog 几乎一直在讲数学趣题，却很少提到物理趣题。其实，我个人觉得，物理也是相当好玩的（我是化学不好才选的文科）。隐约记得初中搞物理竞赛时，曾见过大量让人大呼过瘾的好题。前几天看到了一个绝好的网站，里面有相当多的物理题目，让我激动了好一阵子。我搜集整理了里面的一些好题，加上了我自己的一些补充，在这里和大家分享。不过，由于我的物理实在不怎么样，如果出现什么错误，请大家及时纠正。
那个网站上的“官方解答”并不见得靠谱，也不知是因为我没有悟到，还是因为它真的不靠谱。不管怎样，我给出的基本上还是它的官方答案。其实，阅读过程中你会发现，答案是次要的，真正有趣的其实是问题本身。
几乎从没写过物理题目的 Blog ，想要用一篇文章总结物理趣题，因此毫无疑问——这是一篇非常，非常，非常长的文章。建议大家用自己喜欢的方式做个书签，一天看一点。如果觉得还不过瘾，推荐订阅物理大牛 EagleFantasy 的 Blog。
另外，此日志一出，想必又会收到无数邮件，询问我作图用的什么工具的。在此就先回答了——请见 FAQ 。
开始吧。
你是否很小就注意到了下面这两个有趣的算术现象？这两个简单的算术谜题是否一直都困扰着你？今天，大家终于有机会解开谜团了。
问题一： 2 加 2 等于 4 ， 2 乘 2 也等于 4 。还有其他的整数对，它们的和与积也相等吗？
我们要求的就是 m + n = mn 的整数解。方程可以变为 mn – m – n + 1 = 1 ，也就是 (m – 1)(n – 1) = 1 。由于 m 、 n 都是整数，因此 m – 1 和 n – 1 也都是整数。两个整数之积为 1 ，只有两种情况——这两个数都是 1，或者这两个数都是 -1 。前者对应了 m = 2, n = 2 ，后者解出来则是 m = 0, n = 0 。如果把 (0, 0) 看作平凡解（或者如果我们把问题限制在正整数范围）的话，非平凡解就只有 (2, 2)，没有其他的了。
今天的趣题来源于 IBM Ponder This 三月份的谜题。
大家应该都听说过这个老题目：有 1000 个一模一样的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？
这个问题的答案也堪称经典：把瓶子从 0 到 999 依次编号，然后全部转换为 10 位二进制数。让第一只老鼠喝掉所有二进制数右起第一位是 1 的瓶子，让第二只老鼠喝掉所有二进制数右起第二位是 1 的瓶子，等等。一星期后，如果第一只老鼠死了，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第一位是 1 ；如果第二只老鼠没死，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第二位是 0 ⋯⋯每只老鼠的死活都能确定出 10 位二进制数的其中一位，由此便可知道毒药瓶子的编号了。
现在，有意思的问题来了：如果你有两个星期的时间（换句话说你可以做两轮实验），为了从 1000 个瓶子中找出毒药，你最少需要几只老鼠？注意，在第一轮实验中死掉的老鼠，就无法继续参与第二次实验了。
最近忙于写学年论文，一直没时间更新 Blog 。不过，我却并没有停止在网上闲逛的习惯。这几天会慢慢把最近看到的有意思的东西写下来。今天学到的一个比较有趣的东西就是：平均等待时间往往大于平均间隔时间的一半。
比方说，有这么一趟公交车，平均每 10 分钟发一班车，但具体的发车时间是很不固定的。如果你在某个时刻来到车站，等到下一班车平均要花多久呢？很多人或许都觉得，平均等待时间应该是 5 分钟，毕竟平均间隔时间是 10 分钟嘛。然而事实上，平均等待时间是大于 5 分钟的。这是因为，10 分钟的发车间隔只是一个平均值，实际间隔有时是几分钟，有时是十几分钟。如果你出现在车站的时刻，正好位于几分钟的间隔中，你的平均等待时间显然就会小于 5 分钟；但如果你出现在车站的时刻，正好位于较长的间隔中，那么你的平均等待时间就会大于 5 分钟。关键就在这里：你出现在车站的时刻，更有可能落在了较长的发车间隔中。因而，平均等待时间会偏向于大于 5 分钟的情况。
那么，如果公交车发车的时间足够随机，概率均等地分布在时间轴上（假设平均间隔仍是 10 分钟），那么当你来到车站时，平均需要多久才能等到公交车呢？答案或许很出人意料——平均等待时间就是 10 分钟。下面我们就来证明这一点。
下面这些文字来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆，但由此引出了三角形中很多漂亮的性质，让人深感数学之美。在此整理出来，献给所有还在中学读书的读者，以及早已远离中学数学的 80 后。不管大家是否喜爱数学，想必都会被这些奇妙的结论所震撼。
三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的三条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。
三角形的三条高也不例外——它们也交于一点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心看上去很不起眼，但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点，因此画出三角形的三条高后，会出现大量四点共圆的情况，由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论：