曾经想过要写一篇科幻小说，讲一种生活在空壳星球内表面的文明，如何发现自己的星球是圆的，如何成功地环游世界一周，又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气，幸好当初没写这样的文章，不然就闹笑话了。今天我才知道，空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的，因为空壳星球内的任意一点都没有重力。
这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近，产生的重力作用更显著，但可惜这部分土地并不多。星球的更多部分将会位于你的头上，但可惜它们又离你太远了，影响也不会太大。近的部分太小，大的部分又太远，这两者很可能是一种平衡的状态。
今天碰上一个非常有意思的问题。有一条通信线路，每次可以发送一个由数字 0 到 9 组成的任意长的数字串。怎样巧妙地利用这条通信线路，构造一种一次能够发送两个数字串的协议？注意到，直接将两个数字串相连是不行的，因为这将会产生歧义。如果对方收到的数字串是 1234 ，他没法知道你发送的是数字串 12 和 34 ，还是数字串 123 和 4 ，抑或是 1 和 234。
能否把第一个串的位数编码进去，比如把 12 和 34 编码成 21234 ，这样不就知道第一个数字串到哪儿截止了吗？不行，因为你不知道这个位数信息本身到哪儿截止，假如编码结果是 123456789012345 ，你就不知道第一个数字串是 1 位还是 12 位了。换一个思路，能否用几个非常特殊的数字当作分隔符呢？也不行，因为你要发送的数字串里有可能偏偏也包含了这几位数。怎么办呢？
今天看到一个有趣的证明，来源在这里。
Cantor 集是一个简单而又神奇的分形图形。把 [0, 1] 三等分，挖去中间那一段（即挖去 (1/3, 2/3) ），然后把剩下两段也都分别进行三等分，并挖去各自中间的一段。这样无限地进行下去，最后得到的极限点集就是 Cantor 集了（上面那张图不是分割线，是 Cantor 集的一个示意图）。我们通常把 Cantor 集记作 C 。Cantor 集具有很多神奇的性质：它的 Lebesgue 测度为 0，但它却包含有不可数个点；它里面的每个点都不是孤点，但它却又是无处稠密的。你可以在这里看到一些具体的分析。
Cantor 集还有很多其他的性质。若 A 、 B 是两个集合，定义 A + B = {a + b | a ∈ A 并且 b ∈ B} ，也就是 A 中的某个元素与 B 中的某个元素相加可能得到的所有结果。下面我们将证明，C + C = [0, 2]。
国外有人发现一个鲜为人知的古董级函数作图软件—— GrafEq 。这个软件只有 2M 大小，它的功能就只有一个：作出形如 x2 + y2 = 1 的二元等式或者不等式的图像。令人惊叹的是，这个软件的图像绘制能力异常强大， Mathematica 等大型专业数学软件完全不是它的对手。
这个软件早就没再更新了。它的“最新版本”是 2.12 ，只支持 Windows 95 到 Windows XP 的系统，或者 PowerPC 7.12 到 MacOS 9.2 的系统，可见其年代久远。神奇的是，这个软件的官方网站依然健在，而且软件竟然也都能下载。如果你有幸还能装上这款软件，你将有机会重温一次 Windows 95 时代的软件安装画面。
在这个 Blog 的一篇很老很老的文章里，我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的：给定 A 、 B 两点，只用一个生锈的圆规（没有直尺），如何找出一个点 C ，使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987 年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题，并借助复平面理论得到了很多一般的结果，其研究成果《锈规作图论》发表在了《中国科学技术大学学报》上。
锈规作出等边三角形的方法非常漂亮：利用锈规作图，我们能构造出两点之间由单位长线段构成的折线段，进而实现平行四边形的构造（已知其中三个点，能够只用锈规找出第四个点），进而完成等边三角形的构造。刚才提到的那篇“很老很老的文章”里有详细的描述，继续阅读之前，强烈建议先看一看。
事实上，D. Pedoe 教授还提过另外一个问题：给定 A 、 B 两点，只用锈规能否作出 A 、 B 连线的中点？注意，由于没有直尺，线段 AB 实际上是画不出的。要想“隔空”找出线段的中点，显然并不容易。
前几天翻起张景中的《数学家的眼光》，就是为了查阅这个问题的解决方法。《数学家的眼光》一书中详细描述了锈规作图找中点的方法，在这里和大家分享。