Using your Head is Permitted 数学谜题站的主持人 Michael Brand 某日收到了来自 R. Nandakumar 的一个谜题：是否有可能把一个矩形剖分成若干个小矩形，使得每个小矩形的形状互不相同，但它们的面积都一样？没有想到，从这个问题出发，加上一些非常机智巧妙的分析与构造，我们能得到越来越多有意思的东西。于是，它就变成了 Using your Head is Permitted 今年 3 月的谜题。看了谜题的答案后，我也被彻底折服，决定把这一系列的思考重述在此，和大家一同分享。为了简便起见，下面的“矩形剖分方案”一律指的是把一个大矩形分割成若干个小矩形的方案。

    在继续探索多边形内接图形问题之前，我们先来看一个看似无关的趣题。从水平线上的一点起笔，在这条水平线上方随意画一条折线段，最后回到水平线上（如下图）。把这个折线段想象成一座座山峰。我们以最高峰所在位置为界把整座山分成左右两部分。现在，假设有一对相恋的登山者，一个站在最左侧的山脚出（即点 0 处），一个站在最右侧山脚处（即点 0′ 处）。这两个人将同时从山脚出发，同时到达山顶，并且保证在此过程中他们俩总处于同一海拔高度。不管这座山是什么形状，这种浪漫的想法总可以实现吗？         注意，在登山的过程中，登山者可以为了照顾对方而走回头路。例如，对于图中所示的小山，两个人可以按照下列方法实现同步登山。左右两个人的路线分别为： 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 5 → 4 → 3 → 2 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 0’→ 1’→ 2’→ 3’→ 2’→ 3’→ 4’→ 5’→ 6’→ 5’→ 6’→ 7’→ 8’→ […]