在集合 {1, 2, …, n} 中选出尽可能多的子集，使得每个子集所含的元素个数都是奇数，但是任意两个子集的交集都含有偶数个元素。那么，我们最多能够选出多少个这样的子集来？
容易看出，我们至少可以选出 n 个子集。例如，当 n = 4 时， {1} 、 {2} 、 {3} 、 {4} 就满足要求。我们还能选出更多的子集来吗？简单地尝试后，你会觉得似乎不行。不过，这却并不是显然的，因为存在一些不那么平凡的方案，也能让子集的数量达到 n ，例如 {1, 2, 3} 、 {1, 2, 4} 、 {1, 3, 4} 、 {2, 3, 4} 这 4 个子集也是满足要求的。看来，证明最多只能选出 n 个子集，好像并不那么容易。
n 个小朋友在圆桌上坐成一圈。初始时，每个小朋友都拥有一定数量的糖。接下来，反复进行下面两个操作：
1. 如果有人手里的糖数是奇数，就向老师再要一颗糖，把手里的糖数补成偶数；
2. 每个人都把自己手中一半的糖传给他右边的人（同时接到从左边传过来的糖）。
证明：总有一个时刻，所有小朋友手中都会拥有相同数量的糖。
附加题：这是一个非常经典的问题。猜猜看我最早在什么地方看到的这个问题？
这是我前几天看到的一个视频。毫无疑问，它是我所见过的各种生命游戏构造中最神奇的一个：
在 LifeWiki 中有一个词条详细介绍了这个构造：它叫做 OTCA metapixel ，是由 Brice Due 在 2005 至 2006 年间构造的。其中，每一个 metapixel 的大小为 2048 × 2048 ，周期为 35328 。
视频出处：http://www.youtube.com/watch?v=QtJ77qsLrpw
查看更多：http://www.reddit.com/r/math/comments/lutec/l_i_f_e_c_e_p_t_i_o_n_or_how_to_simulate_the/
如果你喜欢生命游戏，不要错过之前我们介绍过的史上最大的生命游戏构造—— Caterpillar 飞船
这篇文章收录了 Which Way Did the Bicycle Go 趣题集中一个非常有趣的问题：是否有可能在平面上画不可数个不相交的 8 ？答案是否定的。证明方法非常简单。对于任意一个 8 字形，在两个洞里各取一个有理点 P 、 Q （由于平面上的有理点是稠密的，这是总能办到的），则称这个 8 字形圈住了有理点对 (P, Q) 。注意到由于 8 字形不能相交，因此两个 8 字形不可能圈住同一对有理点。由于平面上的有理点对是可数的，因此 8 字形的数量也是可数的。
注意到，平面上显然能够容下不可数个不相交的直线段，也显然能够容下不可数个不相交的圆（比方说一系列同心圆）。在 Mathematical Puzzles 一书里， Peter Winkler 提出了这样一个问题：我们能在平面上写下不可数个不相交的字母 Y 吗？
Heron 公式是一个已知三角形三边长便能直接求出其面积的经典公式。把三角形的三边长分别记作 a 、 b 、 c ，令三角形的半周长 p = (a + b + c) / 2 ，则三角形的面积可以用 Heron 公式 S = √p(p – a)(p – b)(p – c) 求出。如果把 p = (a + b + c) / 2 代入式子，得到的公式其实也挺对称的： S = √(a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(- a + b + c) / 4 。
现在，我们把这个公式看作是一个关于 c 的函数： f(c) = √(a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(- a + b + c) / 4 。它的导数是多少？
注意到，利用平方差公式，根号内的式子可以进一步整理为 ((a + b)2 – c2)(c2 – (a – b)2) ，它的导数是 – 2c(c2 – (a – b)2) + 2c((a + b)2 – c2) = 4c(a2 + b2 – c2) 。因而，整个原函数的导数就是 c(a2 + b2 – c2) / (2 · √(a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(- a + b + c) ) 。
有趣的是，当 a 、 b 、 c 满足勾股定理的关系 a2 + b2 = c2 时，导数值正好为 0 。这是为什么？ Heron 公式的导数的零点和勾股定理有什么联系呢？