有一个半径为 10 米的圆形舞台，初始时舞台上的某个地方有一头狮子。这头狮子在舞台上以折线段的方式跑了 30 千米。求证：在整个过程中，这头狮子至少转了 2998 个弧度。
有时候，换一个角度思考，问题就会迎刃而解。
2011年度最变态的迷宫难题
下面大家将会看到的是一个极其简单而又极其复杂的“迷宫”，这无疑是我在本年度见到的最变态的谜题：从左边入口处的 2011 进去，在迷宫里转悠，最后变成 2012 从右边出来。你可以在迷宫里转圈，可以重复之前走过的路，但不能往回退着走。
你能成功走出来吗？
经典证明：不断把凹的部分翻出来，总能把凹多边形变凸吗？
左图是一个凹多边形，而且凹得相当厉害。作为一个完美主义者，我很难容忍这么一个图形，总想着要把凹进去的部分翻出来，把它还原为一个凸多边形。不幸的是，翻折之后的结果仍然不是凸多边形，图中又产生了新的凹陷。于是，我们想继续把凹进去的部分往外翻，直到整个图形变成凸多边形为止。问题是，这个过程有完吗？换句话说，我们一定能通过有限多步翻折，把凹多边形变成凸的吗？
这个问题有着非常纠结复杂的历史。这个问题最早可能是由数学家 Paul Erdős 正式提出的。 1935 年，他在 American Mathematical Monthly 上猜想，经过有限步翻折之后，凹多边形一定能变凸。 1939 年， Béla Szőkefalvi-Nagy 给出了一个证明。因此，这个结论又叫做 Erdős-Nagy 定理。有趣的是，这个问题是如此的自然，以至于在此之后，又有一大堆人重新提出并研究了这个问题，而且他们明显并不知道相互之间的已有研究。这事儿给我们带来的好处就是，我们有了 Erdős-Nagy 定理的好几种截然不同的证明方法。不过，这些证明或者太长，或者太高深，或者又有些漏洞。 1999 年， Godfried Toussaint 从这些证明中取长补短，给出了一个比较初等的证明。
汉字地图第二版
如此保证选举公正性能成吗？
一个小镇上即将进行大选，候选人有 m ≥ 3 个，选民一共有 n 人。选举时，每个选民在选票上写下一个候选人的名字，然后由计算机根据某种选举机制算出大选的获胜者来。如果把 n 个选民的选票依次记为 x1, x2, …, xn 的话，那么选举机制的算法其实就是一个映射到 {1, 2, …, m} 的函数 f(x1, x2, …, xn) 。
为了保证选举程序的公平性，让每个人手中的选票都能发挥作用，政府提出了“差异性原则”：如果每个人的选票都变了，那么竞选的获胜者也应当改变。也就是说，如果对于所有的 i 都有 xi ≠ yi ，那么必有 f(x1, x2, …, xn) ≠ f(y1, y2, …, yn) 。选票系统的算法虽然不是透明的，但政府保证，这个算法满足差异性原则。
差异性原则真的能够保证，每个选民的选票都有足够的权力吗？不是。差异性原则看似很强，但实际情况则是，它不但不能保证每张选票都能影响选举结果，甚至还无法避免有选民独裁选举结果的现象发生。更不可思议的是，事实上独裁现象是必然会发生的——独裁是差异性原则的必然推论！下面我们将证明，对于任意一种满足差异性原则的选票算法，我们都能找到这样一个选民，他的选票独裁了选举结果，获胜者是谁完全由他的选票决定，与其他人的选票无关。