这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题。构造一个多边形，使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O ：经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两部分。这看起来不大可能对吧？但其实构造却并不困难。你能想出来吗？
经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方
一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有：
我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。
这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？ Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设 α 和 β 都是代数数，如果 α 不等于 0 和 1 ，并且 β 不是有理数，那么 α 的 β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。
那么，是否存在一个无理数 a ，使得 a 的 a 次方是有理数呢？最近， Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有 (1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。
趣题：把矩形分割为面积相同但形状各不相同的小矩形
Using your Head is Permitted 数学谜题站的主持人 Michael Brand 某日收到了来自 R. Nandakumar 的一个谜题：是否有可能把一个矩形剖分成若干个小矩形，使得每个小矩形的形状互不相同，但它们的面积都一样？没有想到，从这个问题出发，加上一些非常机智巧妙的分析与构造，我们能得到越来越多有意思的东西。于是，它就变成了 Using your Head is Permitted 今年 3 月的谜题。看了谜题的答案后，我也被彻底折服，决定把这一系列的思考重述在此，和大家一同分享。为了简便起见，下面的“矩形剖分方案”一律指的是把一个大矩形分割成若干个小矩形的方案。
趣题：八根并排放置的水管
下面这个有趣的问题来自于 2012 年 4 月的 IBM Ponder This 谜题。
有 8 根很长的并且颜色不同的水管并排放在一起， A 、 B 两人分别位于这些水管的两端。两个人手中各有若干根很短的橡皮管，他们可以用这些橡皮管任意连接自己这一侧的水管口。 A 的旁边还有一个水龙头， A 可以用橡皮管把水龙头与自己这一侧的其中一个水管口相连。
A 、 B 两人各将获得一个五位 01 串，然后两人可以根据自己手中的 01 串来连接水管口。当 A 打开水龙头后，容易看出，水必然会从其中一侧流出。两人需要保证，如果两人手中的 01 串相等，则水从 A 的一侧流出，否则水从 B 的一侧流出。他们事先可以商量一个策略，但游戏一旦开始，两人一旦拿到各自的 01 串之后，就不允许再交流了（因此两人都不知道对方手中的 01 串是什么）。请你想出一个能保证两人获胜的策略。
正多边形的滚动与旋轮线下方的面积
想像一个圆盘在地面上滚动一周，那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线（或者摆线）。旋轮线下方的面积是多少，这是一个非常有趣的问题。据说， Galileo 曾经用一种非常流氓的方法，推测出了旋轮线下方的面积。他在金属板上切出一块圆片，再在金属板边缘剪下这个圆形所对应的旋轮线，把它们拿到秤上一称，发现后者的重量正好是前者的三倍。于是，他推测，半径为 r 的滚轮所产生的旋轮线，其下方的面积就是 3πr2 。
不过，今天我第一次知道，这个结论对于正多边形是同样成立的。