Ptolemy 定理是平面几何中非常漂亮的定理：圆内接四边形的对边乘积之和等于对角线的乘积。具体地说，如果把一个圆内接四边形的四条边顺次记为 a 、 b 、 c 、 d ，把两条对角线的长度记为 e 和 f ，那么一定有 a · c + b · d = e · f 。 Ptolemy 是一个非常重要的定理，由它出发可以得出很多推论。例如，在圆内接矩形上应用 Ptolemy 定理，可以立即得到勾股定理。下面是另外两个可以用 Ptolemy 定理来解决的问题：证明余弦定理，以及构造两两间的距离都是整数的点集。
William Derrick 和 James Hirstein 在最近的 The College Mathematics Journal 上给出了下面这个 Ptolemy 定理的无字证明，你能看明白吗？
这个 Blog 已经不止一次提到过难倒犹太人的“棺材问题”了。很多年以前，要想进入莫斯科国立大学的数学系，你必须通过四项入学考试；头两个都是数学考试，一个笔试，一个面试。在面试中，学生和考官都是一对一的，考官可以自由向学生提出任何他喜欢的问题。考官们都准备了很多“棺材问题”，这些问题的答案非常简单，但由于思路太巧妙了，以至于学生很难想到。考官便可以以“你连这个都没想到”为理由，光明正大地拒绝学校不想要的人（主要是犹太人）。之前我们曾经介绍过一个典型的“棺材问题”：空间四边形外切于给定球，求证四切点共面。去年的这个时候，我们还介绍了同样机智巧妙的 11 个问题。
民间还流传着很多其他的“棺材问题”列表。 Ilan Vardi 曾经写过一篇题为 Mekh-Mat Entrance Examinations Problems 的论文，收集了 25 个“棺材问题”，并给出了解答。这篇论文被收录进了 You Failed Your Math Test, Comrade Einstein 一书中。 Ilan Vardi 发现，这 25 个问题的“难法”有所不同。虽然其中不乏思路奇巧的好题，但也有不少步骤繁琐（当然也有可能是还没找到好的解法）、题意不清甚至结论错误的题目。这里，我选择了其中五个有趣的题目，写下来和大家一同分享。
为了说明“同痕”这一概念直观上并不容易把握，《The Knot Book》一书中举了一个经典的例子。如下图，左图是一个有三个洞的立体图形，右图是被挖出了三条通道的立方体（但其中一个通道在另一个通道上缠绕了一圈）。令人难以置信的是，两者之间竟然是同痕的，换句话说前者可以连续地变形成为后者。你能想象出这个变换过程吗？
有 1000 枚硬币堆在一起。把它们任意分成两堆，并计算出这两堆的硬币数的乘积。然后，任意选择其中的一堆硬币，把它继续分成两个更小的堆，并计算出这两堆的硬币数的乘积。不断这样做下去，直到最后每堆都只剩一枚硬币为止。求证：把途中产生的所有乘积全部加在一起，结果是一个定值，它不随分法的改变而改变。
有一条虫子，它的整个身体由 n 节构成，每一节要么是有瑕疵的 1 ，要么是没有瑕疵的 0 ，因而整个虫子的身体结构就可以用一个 n 位 01 串来表示。你的目标是把整个虫子变成 000…00 的完美形式。每一次，你可以砍掉虫子最右侧的一节，同时虫子会在最左侧长出新的一节，以保持虫子的总长度不变。如果你砍掉的是一个 1 ，那么你可以指定虫子在最左侧长出的是 1 还是 0 ；但如果你砍掉的是一个 0 ，那么你无法控制虫子会在最左侧长出什么——它可能会长出 0 ，也可能会长出 1 ，因而你不得不假定，概率总是会和你做对，上天会竭尽全力地阻挠你。我们的问题是：不管虫子的初始状态是什么，你总能保证在有限步之内让虫子变成 000…00 吗？
注意，这个问题可能没有你想的那么简单。显然，我们必须得把一些 1 变成 0 ，这样才能让 1 的数目逐渐减少并最终消失。但是，如果只是简单地每次都把 1 变成 0 ，最终也不见得就一定能取胜。比如，如果这条虫子是 101 ，那么去掉最右边的 1 并选择在左边长出一个 0 ，虫子会变成 010 ；再把 010 右边的 0 去掉后，如果不巧左边长出的是 1 ，那么整条虫子又会回到 101 的状态。如此反复，将永远也不能得到 000 。而更加聪明的方法则是先把 101 变成 110 ，下一步虫子将会变成 111 或者 011 ，不管是哪种情况，接下来只需要逐个把 1 变成 0 就能获胜了。运用恰当的策略才能走到终点，这无疑让问题变得更加有趣。