最近看到一道小学数学题，非常考验人的空间想象能力：将一个立方体绕着它的对角线 AC1 旋转一周，会得到下面的哪一种立体图形？
子串复杂度、平衡 01 串与 Sturmian 串
让我们先从两个小问题开始说起。第一个问题是，是否存在某个无限不循环的 01 串，使得对于任意一个正整数 n ，该 01 串中长度为 n 的子串都有且仅有 n + 1 种？
或许这个问题来得有些突然。让我们慢慢解释一下，这个问题是怎么来的。衡量一个 01 串的复杂程度有很多办法，比方说，我们可以去考察它的“子串复杂度”（subword complexity），即子串的种类有多丰富。我们用 pw(n) 来表示，在一个（有可能无限长的）数字串 w 当中，长度为 n 的子串一共有多少种。例如，对于无限 01 串 α = 000000… 来说，不管 n 是多少， pα(n) 永远都等于 1 ；而对于无限 01 串 β = 001001001… 来说，我们有 pβ(1) = 2 ，并且 pβ(2) = pβ(3) = pβ(4) = … = 3 。
注意，虽然 α 和 β 这两个 01 串都是无限的，但是当 n 的值变得很大时， pα(n) 和 pβ(n) 的值始终很小。当然，这一点也不奇怪，因为 α 和 β 是一种特殊的无限 01 串——无限循环 01 串。对于那些无限不循环的 01 串来说，这种事情就不大可能了。在数字串 γ = 01001000100001… 里，长度为 1 的子串只有 {0, 1} 共 2 种，长度为 2 的子串有 {00, 01, 10} 共 3 种，长度为 3 的子串有 {000, 001, 010, 100} 共 4 种，长度为 4 的子串有 {0000, 0001, 0010, 0100, 1000, 1001} 共 6 种……像这样继续计算下去，我们可以得到序列 pγ(1), pγ(2), pγ(3), pγ(4), … 的前面若干项：
2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, …
趋势非常明显：随着 n 的增加， pγ(n) 的值也会跟着增加，最终可以增加到任意大。换句话说， pγ(n) 的值没有一个上限。那么，能否找到某个无限不循环的 01 串 w ，使得 pw(n) 的值存在上限呢？不可能！下面我们就来说明，对于任意一个无限不循环的 01 串 w 来说，不管 n 是多少，不等式 pw(n) ≥ n + 1 始终成立。
在 2048 里能够得到的最大的数是多少？
Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣题站 2014 年 4 月的谜题中提出了一个这样的问题：在最近非常流行的小游戏 2048 中，你能得到的最大的数是多少？
在这里，我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行，棋盘里填有一个个的“数块”，每个数块上都写有某个形如 2n 的正整数。每一步，你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向，按下对应的方向键之后，所有的数块都会“落”到这个方向；若有两个同种的数块在此过程中发生碰撞，则它们的值会相加起来，并合成一个新的数块。然后，系统会在棋盘中随机选择一个空白位置，并在此生出一个新的数块，上面写有数字 2 或者数字 4 （两种情况之比为 9 : 1）。游戏开始时，棋盘上会自动生成两个随机的数块，你的目标就是通过有限步的操作，得出一个写有 2048 的数块。当然，即使得到了 2048 这个数块，游戏也不会自动结束，你还可以向更大的数发起挑战。于是就有了我们刚才的问题：理论上，这个游戏当中能够得到的最大的数是多少？
趣题：2014 年 INMO 中的一个问题
这是 2014 年印度全国奥林匹克数学竞赛（INMO）的第 2 题：求证，对于任意正整数 n ，
[n/1] + [n/2] + [n/3] + … + [n/n] + [√n]
总是偶数。这里， [x] 表示不超过 x 的最大整数。
