十个利用矩阵乘法解决的经典题目

    好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人,今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识,只介绍矩阵乘法和相关性质。
    不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中,一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如,下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵,其结果是一个2行3列的矩阵。其中,结果的那个4等于2*2+0*1:
    
    下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵,得到一个1 x 2的矩阵:
    

    矩阵乘法的两个重要性质:一,矩阵乘法不满足交换律;二,矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢?废话,交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢?仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C,那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和(枚举所有的k和l)。

经典题目1 给定n个点,m个操作,构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
    这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转(两种情况),旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟,那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵,然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置,总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y,下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来,再乘以(x,y,1),即可一步得出最终点的位置。
    

经典题目2 给定矩阵A,请快速计算出A^n(n个A相乘)的结果,输出的每个数都mod p。
    由于矩阵乘法具有结合律,因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论:当n为偶数时,A^n = A^(n/2) * A^(n/2);当n为奇数时,A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A (其中n/2取整)。这就告诉我们,计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如,为了算出A^25的值,我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果,我们可以在计算过程中不断取模,避免高精度运算。

经典题目3 POJ3233 (感谢rmq)
    题目大意:给定矩阵A,求A + A^2 + A^3 + … + A^k的结果(两个矩阵相加就是对应位置分别相加)。输出的数据mod m。k<=10^9。
    这道题两次二分,相当经典。首先我们知道,A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如,当k=6时,有:
    A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
    应用这个式子后,规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3,即可得到原问题的答案。

经典题目4 VOJ1049
    题目大意:顺次给出m个置换,反复使用这m个置换对初始序列进行操作,问k次置换后的序列。m<=10, k<2^31。
    首先将这m个置换“合并”起来(算出这m个置换的乘积),然后接下来我们需要执行这个置换k/m次(取整,若有余数则剩下几步模拟即可)。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如,将1 2 3 4置换为3 1 2 4,相当于下面的矩阵乘法:
    
    置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。

经典题目5 《算法艺术与信息学竞赛》207页(2.1代数方法和模型,[例题5]细菌,版次不同可能页码有偏差)
    大家自己去看看吧,书上讲得很详细。解题方法和上一题类似,都是用矩阵来表示操作,然后二分求最终状态。

经典题目6 给定n和p,求第n个Fibonacci数mod p的值,n不超过2^31
    根据前面的一些思路,现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵,使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵,这两个数就会多迭代一次。那么,我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次,再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想,这个2 x 2的矩阵很容易构造出来:
    

经典题目7 VOJ1067
    我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项,其对应矩阵的构造方法为:在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1,矩阵第n行填对应的系数,其它地方都填0。例如,我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) – 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项:
    
    利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。

经典题目8 给定一个有向图,问从A点恰好走k步(允许重复经过边)到达B点的方案数mod p的值
    把给定的图转为邻接矩阵,即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A,那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j),实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数(枚举k为中转点)。类似地,C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理,如果要求经过k步的路径数,我们只需要二分求出A^k即可。

经典题目9 用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案,M<=5,N<2^31,输出答案mod p的结果
    
    我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上,从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了,第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满,将状态转

位运算简介及实用技巧(二):进阶篇(1)

=====   真正强的东西来了!   =====

二进制中的1有奇数个还是偶数个
    我们可以用下面的代码来计算一个32位整数的二进制中1的个数的奇偶性,当输入数据的二进制表示里有偶数个数字1时程序输出0,有奇数个则输出1。例如,1314520的二进制101000000111011011000中有9个1,则x=1314520时程序输出1。
var
   i,x,c:longint;
begin
   readln(x);
   c:=0;
   for i:=1 to 32 do
   begin
      c:=c + x and 1;
      x:=x shr 1;
   end;
   writeln( c and 1 );
end.

    但这样的效率并不高,位运算的神奇之处还没有体现出来。
    同样是判断二进制中1的个数的奇偶性,下面这段代码就强了。你能看出这个代码的原理吗?
var
   x:longint;
begin
   readln(x);
   x:=x xor (x shr 1);
   x:=x xor (x shr 2);
   x:=x xor (x shr 4);
   x:=x xor (x shr 8);
   x:=x xor (x shr 16);
   writeln(x and 1);
end.

    为了说明上面这段代码的原理,我们还是拿1314520出来说事。1314520的二进制为101000000111011011000,第一次异或操作的结果如下:

    00000000000101000000111011011000
XOR  0000000000010100000011101101100
—————————————
    00000000000111100000100110110100

    得到的结果是一个新的二进制数,其中右起第i位上的数表示原数中第i和i+1位上有奇数个1还是偶数个1。比如,最右边那个0表示原数末两位有偶数个1,右起第3位上的1就表示原数的这个位置和前一个位置中有奇数个1。对这个数进行第二次异或的结果如下:

    00000000000111100000100110110100
XOR   000000000001111000001001101101
—————————————
    00000000000110011000101111011001

    结果里的每个1表示原数的该位置及其前面三个位置中共有奇数个1,每个0就表示原数对应的四个位置上共偶数个1。一直做到第五次异或结束后,得到的二进制数的最末位就表示整个32位数里有多少个1,这就是我们最终想要的答案。

计算二进制中的1的个数
    同样假设x是一个32位整数。经过下面五次赋值后,x的值就是原数的二进制表示中数字1的个数。比如,初始时x为1314520(网友抓狂:能不能换一个数啊),那么最后x就变成了9,它表示1314520的二进制中有9个1。
x := (x and $55555555) + ((x shr 1) and $55555555);
x := (x and $33333333) + ((x shr 2) and $33333333);
x := (x and $0F0F0F0F) + ((x shr 4) and $0F0F0F0F);
x := (x and $00FF00FF) + ((x shr 8) and $00FF00FF);
x := (x and $0000FFFF) + ((x shr 16) and $0000FFFF);

    为了便于解说,我们下面仅说明这个程序是如何对一个8位整数进行处理的。我们拿数字211(我们班某MM的生日)来开刀。211的二进制为11010011。

+—+—+—+—+—+—+—+—+
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |   <—原数
+—+—+—+—+—+—+—+—+
|  1 0  |  0 1  |  0 0  |  1 0  |   <—第一次运算后
+——-+——-+——-+——-+
|    0 0 1 1    |    0 0 1 0    |   <—第二次运算后
+—————+—————+
|        0 0 0 0 0 1 0 1        |   <—第三次运算后,得数为5
+——————————-+

    整个程序是一个分治的思想。第一次我们把每相邻的两位加起来,得到每两位里1的个数,比如前两位10就表示原数的前两位有2个1。第二次我们继续两两相加,10+01=11,00+10=10,得到的结果是00110010,它表示原数前4位有3个1,末4位有2个1。最后一次我们把0011和0010加起来,得到的就是整个二进制中1的个数。程序中巧妙地使用取位和右移,比如第二行中$33333333的二进制为00110011001100….,用它和x做and运算就相当于以2为单位间隔取数。shr的作用就是让加法运算的相同数位对齐。

二分查找32位整数的前导0个数
    这里用的C语言,我直接Copy的Hacker's Delight上的代码。这段代码写成C要好看些,写成Pascal的话会出现很多begin和end,搞得代码很难看。程序思想是二分查找,应该很简单,我就不细说了。
int nlz(unsigned x)
{
   int n;

   if (x == 0) return(32);
   n = 1;
   if ((x >> 16) == 0) {n = n +16; x = x <<16;}
   if ((x >> 24) == 0) {n = n + 8; x = x << 8;}
   if ((x >> 28) == 0) {n = n + 4; x = x << 4;}
   if ((x >> 30) == 0) {n = n + 2; x = x << 2;}
   n = n - (x >> 31);
   return n;
}

只用位运算来取绝对值
    这是一个非常有趣的问题。大家先自己想想吧,Ctrl+A显示答案。
    答案:假设x为32位整数,则x xor (not (x shr 31) + 1) + x shr 31的结果是x的绝对值
    x shr 31是二进制的最高位,它用来表示x的符号。如果它为0(x为正),则not (x shr 31) + 1等于$00000000,异或任何数结果都不变;如果最高位为1(x为负),则not (x shr 31) + 1等于$FFFFFFFF,x异或它相当于所有数位取反,异或完后再加一。

高低位交换
    这个题实际上是我出的,做为学校内部NOIp模拟赛的第一题。题目是这样:

    给出一个小于2^32的正整数。这个数可以用一个32位的二进制数表示(不足32位用0补足)。我们称这个二进制数的前16位为“高位”,后16位为“低位”。将它的高低位交换,我们可以得到一个新的数。试问这个新的数是多少(用十进制表示)。
  例如,数1314520用二进制表示为0000 0000 0001 0100 0000 1110 1101 1000(添加了11个前导0补足为32位),其中前16位为高位,即0000 0000 0001 0100;后16位为低位,即0000 1110 1101 1000。将它的高低位进行交换,我们得到了一个新的二进制数0000 1110 1101 1000 0000 0000 0001 0100。它即是十进制的249036820。

    当时几乎没有人想到用一句位操作来代替冗长的程序。使用位运算的话两句话就完了。
var
   n:dword;
begin
   readln( n );
   writeln( (n shr 16) or (n  shl 16) );
end.

    而事实上,Pascal有一个系统函数swap直接就可以用。

二进制逆序
    下面的程序读入一个32位整数并输

位运算简介及实用技巧(一):基础篇

    去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一,很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料,学习到了更多关于位运算的知识,有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章,与其说是原来那篇文章的follow-up,不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。

什么是位运算?
    程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了,就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如,and运算本来是一个逻辑运算符,但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子,6的二进制是110,11的二进制是1011,那么6 and 11的结果就是2,它是二进制对应位进行逻辑运算的结果(0表示False,1表示True,空位都当0处理):
     110
AND 1011
———-
    0010  –>  2

    由于位运算直接对内存数据进行操作,不需要转成十进制,因此处理速度非常快。当然有人会说,这个快了有什么用,计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你,位运算到底可以干什么,有些什么经典应用,以及如何用位运算优化你的程序。

Pascal和C中的位运算符号
    下面的a和b都是整数类型,则:
C语言  |  Pascal语言
——-+————-
a & b  |  a and b
a | b  |  a or b
a ^ b  |  a xor b
  ~a   |   not a
a << b |  a shl b
a >> b |  a shr b

    注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834,但520||1314=1,因为逻辑运算时520和1314都相当于True。同样的,!a和~a也是有区别的。

各种位运算的使用
    === 1. and运算 ===
    and运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶,二进制的最末位为0表示该数为偶数,最末位为1表示该数为奇数.

    === 2. or运算 ===
    or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值,例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0,对这个数or 1之后再减一就可以了,其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

    === 3. xor运算 ===
    xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作,因为异或可以这样定义:0和1异或0都不变,异或1则取反。
    xor运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密,比如我想对我MM说1314520,但怕别人知道,于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500,我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值,得到1314520,于是她就明白了我的企图。
    下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@(我怎么找不到那个圈里有个叉的字符),这两个符号互为逆运算,也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令,结果是什么?
x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y

    执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y,由于#和@互为逆运算,那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x,如果#运算具有交换律,那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是,x和y的位置互换了。
    加法和减法互为逆运算,并且加法满足交换律。把#换成+,把@换成-,我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。
procedure swap(var a,b:longint);
begin
   a:=a + b;
   b:=a - b;
   a:=a - b;
end;

    好了,刚才不是说xor的逆运算是它本身吗?于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程:
procedure swap(var a,b:longint);
begin
   a:=a xor b;
   b:=a xor b;
   a:=a xor b;
end;

    === 4. not运算 ===
    not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心,你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数(不能表示负数),那么得到的值就是它与该类型上界的差,因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序(仅语言不同)均返回65435。
var
   a:word;
begin
   a:=100;
   a:=not a;
   writeln(a);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
    unsigned short a=100;
    a = ~a;
    printf( "%dn", a );    
    return 0;
}

    如果not的对象是有符号的整数,情况就不一样了,稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

    === 5. shl运算 ===
    a shl b就表示把a转为二进制后左移b位(在后面添b个0)。例如100的二进制为1100100,而110010000转成十进制是400,那么100 shl 2 = 400。可以看出,a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方,因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
    通常认为a shl 1比a * 2更快,因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
    定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂,此时可以用shl来定义Max_N等常量。

    === 6. shr运算 ===
    和shl相似,a shr b表示二进制右移b位(去掉末b位),相当于a除以2的b次方(取整)。我们也经常用shr 1来代替div 2,比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算,效率可以提高60%。

位运算的简单应用
    有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如,做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时,我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如,一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示(二进制为000010010),而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去,而是直接进行位操作。在搜索时,把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。
    下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

    功能              |           示例            |    位运算
———————-+—————————+——————–
去掉最后一位          | (101101->10110)           | x shr 1
在最后加一个0         | (101101->1011010)         | x shl 1
在最后加一个1         | (101101->1011011)         | x shl 1+1
把最后一位变成1       | (101100->101101)          | x or 1
把最后一位变成0       | (101101->101100)          | x or 1-1
最后一位取反          | (101101->101100)          | x xor 1
把右数第k位变成1      | (101001->101101,k=3)      | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0      | (101101->101001,k=3)      | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反         | (101001->101101,k=3)      | x xor (1 shl (k-1))
取末三位              | (1101101->101)            | x and 7
取末k位               | (1101101->1101,k=5)       | x and (1 shl k-1)
取右数第k位           | (1101101->1,k=4)          | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1          | (101001->101111,k=4)      | x or (1 shl k-1)
末k位取反             | (101001->100110,k=4)      | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0    | (100101111->100100000)    | x and (x+1)
把右起第一个0变成1    | (100101111->100111111)    | x or (x+1)
把右边连续的0变成1    | (11011000->11011111)      | x or (x-1)
取右边连续的1         | (100101111->1111)         | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000)         | x and (x xor (x-1))

    最后这一个在树状数组中会用到。

Pascal和C中的16进制表示
    Pascal中需要在16进制数前加$符号表示,C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。

整数类型的储存
    我们前面所说的位运算都没有涉及负数,都假设这些运算是在unsigned/word类型(只能表示正数的整型)上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢?下面两个程序都是考察16位整数的储存方式(只是语言不同)。
var
   a,b:integer;
begin
   a:=$0000;
   b:=$0001;
   write(a,' ',b,' ');
   a:=$FFFE;
   b:=$FFFF;
   write(a,' ',b,' ');
   a:=$7FFF;
   b:=$8000;
   writeln(a,' ',b);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
    short int a, b;
    a = 0x0000;
    b = 0x0001;
    printf( "%d %d ", a, b );
    a = 0xFFFE;
    b = 0xFFFF;
    printf( "%d %d ", a, b );
    a = 0x7FFF;
    b = 0x8000;
    printf( "%d %dn", a, b );
    return 0;
}

    两个程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前两个数是内存值最小的时候,中间两个数则是内存值最大的时候,最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的:计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数,剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现,二进制的第一位是用来表示正负号的,0表示正,1表示负。这里有一个问题:0本来既不是正数,也不是负数,但它占用了$0000的位置,因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后,最高位的变化将导致正负颠倒,并且数的绝对值会差1。也就是说,not a实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。

最后还有两句话
    Matrix67原创
    转贴请注明出处

C语言速成手册(六):其它问题、后记

预处理指令
    以一个井号开头的行都叫做预处理指令。除了#include指令外,我们还经常用到#define指令。#define指令可以告诉编译器,编译时把代码中出现的特定标识当作什么来处理。例如,我们可以这样写:
#define NAME_OF_MY_POTENTIAL_GF "ZPR"
    这样,编译器会在编译前把代码中出现NAME_OF_MY_POTENTIAL_GF的地方全部替换成"ZPR"。这种替换是无条件的,但是有一个例外:当指定的标识属于某个字符串(被引号引起来)时替换不会发生。例如,下面两行代码会输出NAME_OF_MY_POTENTIAL_GF defined as: ZPR
printf("NAME_OF_MY_POTENTIAL_GF defined as: ");
printf(NAME_OF_MY_POTENTIAL_GF);

    其中,后面那个NAME_OF_MY_POTENTIAL_GF被自动替换为"ZPR"。如果哪一天ZPR不要我了,我就可以非常方便地让整个程序适用于另一个MM。

    C语言中通常会用#define代替const。例如,下面的代码假设了输入数据n<=2000。
#include <stdio.h>
#define MAX 2000

int main()
{
   int f[MAX][MAX];
   int i,j,n;
   scanf("%d",&n);
   for ( i=0; i<n; i++ )
   {
      for ( j=0; j<=i; j++ )
      {
          f[i][j] = j ? (f[i-1][j] + f[i-1][j-1]) % 10000 : 1;
          printf( "%5d" , f[i][j] );
      }
      printf("n");
   }

   return 0;
}

    下面的这些指令也是合法的:
#define begin {
#define end }
#define and &&
#define or ||

    #define定义的指令允许带参数。例如,下面的定义也是合法的:
#define sqr(x) x*x
    观察下面的这个程序:
#include <stdio.h>
#define begin {
#define end }
#define writeln(num) printf("%dn",num)
#define sqr(x) x*x

int main()
begin
   writeln(sqr(100));
   writeln(sqr(10+2));
end

    程序输出:
10000
32

    为什么第二个输出的数是32不是144?不要忘了sqr中的x不是一个变量,编译器仅仅是把x替换为10+2,因此sqr(10+2)的结果是10+2*10+2,当然是32咯。为了避免这种情况,这样写就没问题了:
#define sqr(x) ( (x) * (x) )
    下面这个定义很常用:
#define MAX(a,b) ( ((a) > (b)) ? (a) : (b) )

    如果你想写出一个很有个性的C代码,反复使用#define是一个不错的选择。例如,这段代码就极具个性,一个光棍的形象跃然于屏幕上。然而,真正把#define发挥得淋漓尽致的,还是要数这段代码

static声明
    在函数中的变量声明前加一个static可以使这个变量具有“记忆性”。观察下面的程序:
#include <stdio.h>
void printNum()
{
   int a=1;
   static int b=1;
   printf("%d %dn", a++, b++);
}
int main()
{
   int i;
   for ( i=1; i<=5; i++ )
       printNum();
   return 0;
}

    程序输出:
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

short类型和int类型的范围
    最初我们列出的C语言类型和Pascal类型的对比只能提供一个参考。事实上不同的编译器中short和int的范围可能不同。你可以查一下前面说过的limits.h来确定这些类型的实际范围。通常short是16位整数,long是32位整数。在Windows下Dev-C++中int类型是32位。

对64位整型的处理
    和Free Pascal一样,对64位整数类型的处理总是比较麻烦。
    首先,对long long赋值很可能会发生错误,你可以在常数后添加一个LL表明这是long long类型。其次,C语言中有些函数是要区分数据类型的,你需要根据数据类型选用恰当的函数。最后,long long类型的输出很可能也有问题,此时你可以用"%lld"来替换"%d",表明输出的是一个long long类型。在Windows下总要装点怪,我在Windows编译时非要用"%I64d"才行。
    下面的程序代码在Windows下Dev-C++中一切正常。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    long long a;
    a = -5841314520LL;
    a = llabs(a);
    a = a + 1;
    printf("%I64d",a);
    return 0;
}

查漏补缺
    这个系列到这里就结束了。还有我没有说到的语法点吗?欢迎大家补充。

后记
    C语言速成手册到这里就结束了。这很可能是网上现有的原创C语言教材中讲解最快,篇幅最短的,因为它只适合已经学过其它语言,了解程序设计基础知识的人。这一系列的文章略过了大量的概念讲解、示例代码和习题,你可以自己在网上阅读一些C语言程序作为补充。以后我可能还会写一些类似的文章介绍其它语言。下一步我计划写C与C++的区别,对象和类的介绍以及C++的新特性。再以后我可能会向Java或者Ruby的方向发展。
    祝各位努力转C的OIer暑假愉快。

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C语言速成手册(五):其它运算符、文件操作、其它函数

条件运算符
    条件运算符的格式如下:
表达式1 ? 表达式2 : 表达式3
    它表示:若表达式1为真(非0),则返回表达式2,否则返回表达式3。

    下面的函数返回两个数中较小的一个:
long min( long a, long b)
{
   return (a<b)?a:b;
}

    很多地方都可能用到条件运算符。再比如求平均数时你可能会这样写:
average = (n>0) ? sum/n : 0;

自加、自减
    a=a+1可以写成a++或++a,a=a-1可以写成a–或–a 。例如,你会经常看到这样的写法:
for ( i=1; i<=10; i++ )
{
}

    如果自加自减不是单独成句,而是放在其它语句中的话,那么a++和++a是有区别的。a++表示“用了后再加”,++a表示“加了后再用”。a–和–a的区别同理。下面的代码输出0 1 1 1。
int a=0;
printf("%d ",a++);
printf("%d ",a);

int b=0;
printf("%d ",++b);
printf("%d",b);

其它运算符
    下面所有的a和b均为整型,则:
C语言  |  Pascal语言
——-+————-
a & b  |  a and b
a | b  |  a or b
a ^ b  |  a xor b
a << b |  a shl b
a >> b |  a shr b

  简写 |    含义
——-+————-
a += b |  a = a + b
a -= b |  a = a – b
a *= b |  a = a * b
a /= b |  a = a / b
a %= b |  a = a % b
a &= b |  a = a & b
a |= b |  a = a | b
a ^= b |  a = a ^ b
a <<= b|  a = a << b
a >>= b|  a = a >> b

各种标准输入输出函数
    下列函数都是stdio.h提供的。stdio.h还提供了一个EOF常量(其实就是-1),用来标识输入数据结束。
         函数                |                    用途
—————————–+———————————————————-
int scanf(str,arg1,…,argn) | 按指定格式读入数据,返回成功被赋值的变量个数。如果已无输入或出错则返回EOF
int printf(str,arg1,…,argn)| 按指定格式输出数据,返回成功输出的字符个数。
int getchar()                | 返回标准输入的下一个字符,如果已无输入或出错则返回EOF。
int putchar(c)               | 向屏幕输出一个字符c,同时返回这个字符,如果出错则返回EOF。
char *gets(str)              | 把这一行输入数据存入字符串str并返回该字符串,如果已无输入或出错则返回NULL
int puts(str)                | 输出字符串并自动输出一个换行符,如果出错则返回EOF。

内存输入输出操作
    stdio.h中提供的sscanf和sprintf两个函数可以把一个字符串当作输入输出对象,其用法与scanf和printf差不多,只不过要多一个参数。你需要把目标字符数组作为函数的第一个参数。
    使用sscanf和sprintf可以方便地进行数字和字符串互转,并实现各种字符串操作。看下面的程序代码:
#include <stdio.h>
int main()
{
    char st[80]="5:43:04";
    int h,m,s;
    
    sscanf(st, "%d:%d:%d", &h, &m, &s);
    printf("Hour:%d Minute:%d Second:%dn", h, m, s);
    
    sprintf(st, "My birthday is %d-%d-%d", 1988, 5, 16);
    printf("%s",st);
    
    return 0;
}

    输出为:
Hour:5 Minute:43 Second:4
My birthday is 1988-5-16

文件输入输出操作
    stdio.h还提供了FILE类型,用于定义文件指针。例如,下面的语句定义了两个待操作的文件:
FILE *in, *out;
    打开一个文件使用fopen函数,该函数的参数为两个字符串。前一个参数指定文件名,后一个参数指定打开模式("r"=读, "w"=写, "a"=在已有文件后继续写 )。函数返回一个文件指针作为此文件的标识供以后使用。

    和文件操作相关的函数有:
         函数                      |                    用途
———————————–+———————————————————-
int fscanf(file,str,arg1,…,argn) | 从file指针对应的文件中读入数据,具体行为同scanf
int fprintf(file,str,arg1,…,argn)| 向file指针对应的文件中输出数据,具体行为同printf
int fgetc(file)                    | 从file指针对应的文件中读入数据,具体行为同getchar
int fputc(c,file)                  | 向file指针对应的文件中输出数据,具体行为同putchar
char *fgets(str,n,file)            | 从file指针对应的文件中读入数据到str字符串,读到第n个字符为止
int fputs(str,file)                | 向file指针对应的文件中输出数据,具体行为同puts
int fflush(file)                   | 立即写入文件,同Pascal中的flush
int feof(file)                     | 文件是否结束,同Pascal中的eof
int fclose(file)                   | 关闭文件,同Pascal中的close

    下面的程序是文件操作版A+B问题,你可以看到文件操作具体的实现方法。
#include <stdio.h>
int main()
{
    FILE *in, *out;
    long a, b;
    
    in = fopen("test.in","r");
    fscanf(in, "%d%d", &a, &b);
    fclose(in);
    
    out = fopen("test.out","w");
    fprintf(out, "%d", a+b);
    fclose(out);
    
    return 0;
}

整型上下限
    Pascal可以用maxlongint来表示longint类型的最大值。C语言中也有类似的定义可以直接使用。使用C语言中的相关定义需要在程序代码前加上#include <limits.h>。

   定义    |    表示
———–+—————————–
CHAR_MAX   | char类型大小上限
CHAR_MIN   | char类型大小下限
SHRT_MAX   | short类型的大小上限
SHRT_MIN   | short类型的大小下限
USHRT_MAX  | unsigned short类型的大小上限
INT_MAX    | int类型的大小上限
INT_MIN    | int类型的大小下限
UINT_MAX   | unsigned int类型的大小上限
LONG_MAX   | long类型的大小上限
LONG_MIN   | long类型的大小下限
ULONG_MAX  | unsigned long类型的大小上限
LLONG_MAX  | long long类型的大小上限
LLONG_MIN  | long long类型的大小下限
ULLONG_MAX | unsigned long long类型的大小上限

常用数学函数
    使用下面的函数需要在程序代码前加上#include <math.h>。

   函数             |     用途
——————–+—————–
double sin(x)       |  正弦
double cos(x)       |  余弦
double tan(x)       |  正切
double asin(x)      |  反正弦
double acos(x)      |  反余弦
double atan(x)      |  反正切
double sqrt(x)      |  开平方
double pow(x,y)     |  x的y次方
double exp(x)       |  e的x次方
double exp2(x)      |  2的x次方
double log(x)       |  以e为底的对数
double log2(x)      |  以2为底的对数
double log10(x)     |  以10为底的对数
double fabs(x)      |  x的绝对值
double fmod(x,y)    |  小数版的mod
double floor(x)     |  小于等于x的最大整数
double ceil(x)      |  大于等于x的最小整数
double trunc(x)     |  舍弃小数部分
double round(x)     |  小数部分四舍五入
long lround(x)      |  小数部分四舍五入,返回long
long long llround(x)|  小数部分四舍五入,返回long long

常用字符串函数
    使用以下函数需要在程序代码前加上#include <string.h>。
    参数s1和s2总是两个字符串,参数c总是一个字符。

    函数               |        用途
———————–+—————————–
int strlen(s1)         | 返回s1的长度
char *strcpy(s1,s2)    | 把s2赋值给s1,返回s1
char *strcat(s1,s2)    | 将s2连接到s1后面,返回s1
int strcmp(s1,s2)      | 比较两字符串,s1小则返回负数,相等返回0,s1大返回正数
char *strchr(s1,c)     | 寻找s1第一次出现c的位置,找到则返回指向该位置的指针,没找到则返回NULL
char *strstr(s1,s2)    | 寻找s2第一次出现在s1的位置,找到则返回指向该位置的指针,没找到则返回NULL
char *strpbrk(s1,s2)   | 寻找s2中的任意字符第一次出现在s1的位置,找到则返回指向该位置的指针,没找到则返回NULL

观察下面的程序:
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
    char st[80]="matrix67";
    strcat(st,".com");
    printf( "%sn", st );
    printf( "%dn", strlen(st) );
    printf( "%dn", strcmp(st,"my blog") );
    printf( "%cn", *strchr(st,'i') );
    printf( "%sn", strpbrk(st,"3.1415927") );
    printf( "%dn", strstr(st,"x6")-st );

    return 0;
}

输出为:
matrix67.com
12
-1
i
7.com
5

内存操作函数
    下面的一些函数主要用于字符串操作,因此属于string.h 。假设m1和m2都是void *类型。

         函数                |            用途
—————————–+———————————–
int memcmp (m1, m2, n)     |  比较m1和m2的头n个字节,相同返回0,m1小返回负数,m2小返回正数
void *memmove (m1, m2, n)    |  把m2的前n个字节复制到m1的位置,相当于Pascal中的move
void *memset (m1, c, n)      |  把m1的前n个字节全部设为c,相当于Pascal中的fillchar

    下面这段代码的结果是把st字符串变成了"Matrix67, I love UUUUUUUUUUUU…"。
char st[80]="Matrix67, I love someone else...";
memset(st+17,'U',12);

    当然memset更常用的是初始化数组。例如动态规划前初始化f数组:
long f[1000][1000];
memset( f, 0, sizeof(f) );

stdlib.h提供的其它函数
    函数                 |                        用途
————————-+————————————————-
int abs(n)               |  取绝对值,适用于int
long labs(n)             |  取绝对值,适用于long
long long llabs(n)       |  取绝对值,适用于long long
double atof(str)         |  把字符串str转化为数字,返回double类型
int atoi(str)       &n
bsp;    |  把字符串str转化为数字,返回int类型
long atol(str)           |  把字符串str转化为数字,返回long类型
long long atoll(str)     |  把字符串str转化为数字,返回long long类型
void exit(n)             |  退出程序,返回的错误代码为n(0=正常),相当于Pascal的halt
int rand()               |  产生一个随机数,范围在stdlib.h中指定(通常最小为0,最大为int的上限)
void srand(n)            |  设置随机数发生器的种子为n
void qsort(arr,n,size,fn)|  快排,四个参数分别为数组,长度,类型大小,比较函数。

    比较函数的格式应该为
int 函数名(const void *参数1, const void *参数2)
    如果参数1小于参数2,则该函数返回负数,等于则返回0,大于则正数。因此,你可以自己给“大小”下定义。
    下面的程序合法地调用了qsort函数。注意随机函数后的取余运算,这是生成某个范围内的随机数的常用手段。
#include <stdlib.h>
int comp(const void *i, const void *j)
{
    return *(long *)i - *(long *)j;
}

int main()
{
    long n=1000, i, a[n];
    for (i=0; i<n; i++) a[i]=rand()%10000;
    qsort(a, n, sizeof(long), comp);
    return 0;
}

利用assert帮助调试
    assert可以在程序不满足某个条件时输出错误信息并立即终止运行,这对调试很有帮助。使用assert语句需要包含头文件assert.h。观察下面的程序代码:
#include <stdio.h>
#include <assert.h>

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    assert(n!=0);
    printf("%f",1.0/n);
    return 0;
}

    当读入的数是0时,程序执行printf前就会提前终止,并且输出错误信息。这可以保证后面的语句正常执行,避免异常错误。这显然比用if语句排除异常错误更好一些。在每一个潜在的异常错误前加上assert,当程序出错时你可以很快确定是哪里的问题。

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