大家一定见过很多“我不知道，我也不知道，我还是不知道，我还是不知道，我知道了，我也知道了”的问题。但是，我想大家一定没有见过下面这样的问题。
A 、 B 两人在主持人 C 的带领下玩一个游戏。 C 向两人宣布游戏规则：“一会儿我会随机产生两个不同的形如 n – 1/2k – 1/2k+r 的数，其中 n 、 k 是正整数， r 是非负整数。然后，我会把这两个数分别交给你们。你们每个人都只知道自己手中的数是多少，但不知道对方手中的数是多少。你们需要猜测，谁手中的数更大一些。”这里，我们假设所有人的逻辑推理能力都是无限强的，并且这一点本身也成为了共识。 C 按照规则随机产生了两个数，把它们交给了 A 和 B ，然后问他们是否知道谁手中的数更大。于是有了这样的一段对话。 Read more…
我先认错，这实在有些标题党了；不过看完游戏规则介绍，我的第一感受确实是这样——这无疑是最适合数学 Geek 的卡牌游戏。在游戏中，玩家们需要轮流出牌，在置牌区中构造出有利于自己的逻辑表达式，证明自己的存在。哈哈，听上去很有意思吧！让我先来详细说说游戏规则。
ERGO 是 2009 年 Catalyst Game Labs 出品的一款桌游。游戏共有 55 张牌，包括：
变量牌 16 张，其中 A 、 B 、 C 、 D 各 4 张
符号牌 20 张，其中 AND 、 OR 、 THEN 各 4 张， NOT 牌 8 张
括号牌 6 张，其中左右括号各 3 张
白板牌 1 张
回转牌 1 张
谬误牌 3 张
辩解牌 3 张
万能牌 2 张，其中变量万能牌和符号万能牌各 1 张
ERGO 牌 3 张
今天听说了 Fitch 可知性悖论，在这里给大家讲一讲。这是由美国逻辑学家 Frederic Fitch 在 1963 年的一篇论文中提出来的。在这篇论文中， Fitch 利用严密的数理逻辑得出了一个看上去很不可思议的结论：假设所有知识都是人类有可能掌握的，那么所有知识都已经被人类掌握了。
为了表达“能掌握的知识”这一概念，我们需要用到模态逻辑。模态逻辑中允许出现这样一种情况：一个命题是假的，但是它有可能是真的。比方说，命题“一加一等于三”是假的，而且它不可能是真的；命题“朝鲜在 2010 年世界杯中获得冠军”是假的，但它却有可能是真的。这两种情况的区别可以从平行宇宙的角度来解释。前者可以在逻辑上被推翻，在任何一个平行宇宙中都不成立；后者虽然在我们的世界中是假的，但却不排除在其它世界中为真的可能。在模态逻辑中，“明天可能会下雨”也能成为一个合法的命题。
下面，我们用 K(φ) 表示人类已经知道了 φ 为真（也就是说 φ 在人类的知识库中）。因而， ¬K(φ) 就表示人类不知道 φ 。再用 P(φ) 表示 φ 有可能为真（在至少一个平行宇宙中成立）。因而， ¬P(φ) 就表示 φ 不可能为真，P(K(φ)) 就表示人类有可能知道 φ 为真。我们作出以下四个假设：
今天听说了一个非常有趣的思想实验——超级游戏（ Hypergame ，暂且让我翻译成“超级游戏”吧）。首先，如果一个游戏能在有限步之内分出胜负，我们就把它叫做“有限游戏”。注意，一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。虽然每一步的决策无穷多，但只要能在有限步内结束游戏，我们都把它叫做有限游戏。举个例子，玩家 1 和玩家 2 游戏，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后立即获胜。这个游戏的决策有无穷多，但它显然是有限游戏。另外，一个有限游戏的总步数甚至也可以没有上限。比如说，玩家 1 说出任意一个正整数 N ，然后玩家 2 说 N – 1 ，玩家 1 说 N – 2 ，以此类推，两人轮流倒数，谁数到 0 谁就获胜。结束这个游戏所需要的步数可以是任意多，但只要是有限的，我们都把它叫做有限游戏。
下面，我们来看这个叫做“超级游戏”的游戏。在超级游戏中，首先，玩家 1 指定一个有限游戏，然后玩家 2 作为这个有限游戏的先行者与玩家 1 对弈。谁赢得了这个有限游戏，也就是这局超级游戏的获胜者。
这个异想天开的游戏可以说是一下子打开了我们的思路，很多再正常不过的事情此时都变得有争议了。比如说，超级游戏的决策树是什么样子的？超级游戏算是组合游戏吗？甚至是问，超级游戏本身是一个有限游戏吗？
（注：本文纯属搞笑，请勿当真）
理发师常论：一个理发师只给别人理发。
说谎者常论：我刚才说的是谎话。
Berry 常论：最小的能用 20 个以内的汉字描述的正整数。
万能上帝常论：上帝是万能的，他甚至为人类创造了一个“万能上帝悖论”，搞得大伙儿现在还在纠结中。
突击测验常论：老师决定在周一至周五的某一天进行一次出其不意的测验，但是他没有告诉学生。测验当天，所有学生都没有预料到。