今天的趣题来源于 IBM Ponder This 三月份的谜题。
大家应该都听说过这个老题目：有 1000 个一模一样的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？
这个问题的答案也堪称经典：把瓶子从 0 到 999 依次编号，然后全部转换为 10 位二进制数。让第一只老鼠喝掉所有二进制数右起第一位是 1 的瓶子，让第二只老鼠喝掉所有二进制数右起第二位是 1 的瓶子，等等。一星期后，如果第一只老鼠死了，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第一位是 1 ；如果第二只老鼠没死，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第二位是 0 ⋯⋯每只老鼠的死活都能确定出 10 位二进制数的其中一位，由此便可知道毒药瓶子的编号了。
现在，有意思的问题来了：如果你有两个星期的时间（换句话说你可以做两轮实验），为了从 1000 个瓶子中找出毒药，你最少需要几只老鼠？注意，在第一轮实验中死掉的老鼠，就无法继续参与第二次实验了。
先给大家看两个“单词等式”：
ACT + DEAL = DONE
COIN + TRY = DIAL
除了意义上说得通以外，从另外一个角度来看，这两个等式也是成立的。大家能猜到是什么吗？
有一个黑匣子，黑匣子里有一个关于 x 的多项式 p(x) 。我们不知道它有多少项，但已知所有的系数都是正整数。每一次，你可以给黑匣子输入一个整数，黑匣子将返回把这个整数代入多项式后的值。有一个不可思议的结论：你可以在两步之内还原出整个多项式！这是如何做到的呢？
首先，输入 1 ，于是便得到整个多项式的所有系数之和。不妨把这个系数和记作 S 。下一步，输入 S + 1 ，于是黑匣子返回
an * (S + 1)n + an-1 * (S + 1)n-1 + … + a1 * (S + 1) + a0
把这个值转换成 S + 1 进制，依次读出每一位上的数，它们就是多项式的各项系数了。
来源：http://rjlipton.wordpress.com/2010/12/20/some-mathematical-gifts/
这个有趣的问题曾经以另一形式出现在了这个 Blog 里，见 这里 的 35 题。
或许有人会对算式 5^2 = 25 有一种特别的偏好——等式左右两边都用到了相同的数字，让人深感奇妙。类似的算式还有很多，例如
5^(6 – 2) = 625
(4 / 2)^10 = 1024
((86 + 2 * 7)^5 – 91) / 3^4 = 123456789
我们自然而然地提出了这样一个问题：这样的算式究竟有多少呢？答案是：无穷多。只需要借助本文一开始提到的算式 5^2 = 25 ，我们就能轻易构造出无穷多个同样满足这种神奇性质的算式来：
50^2 + 0 = 2500
500^2 + 0 + 0 = 250000
5000^2 + 0 + 0 + 0 = 25000000
……
现在，让我们来看看另一类更加精妙的算式：等式两边的数字顺序也完全一样！
– 1 + 2^7 = 127
(3 + 4)^3 = 343
16^3 * (8 – 4) = 16384
这样的算式是否仍然有无穷多个呢？
