有一个无限大的棋盘，棋盘左下角有一个大小为 n 的阶梯形区域，其中最左下角的那个格子里有一枚棋子，如左图所示。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子，分别放在原位置的上边一格和右边一格。你的目的是通过有限次的操作，让整个阶梯里不再有任何棋子。下图所示的是 n = 2 时的一种解法。我们的问题是：对于那些 n ，这个游戏是有解的？
趣题
趣题：庄家的秘密序列
下面是 2013 年 9 月 IBM Ponder This 的谜题。
A 和 B 在赌场玩一个游戏，他们要协同作战与庄家对抗。游戏一轮一轮地进行，每一轮的规则都是一样的：首先 A 赌 0 和 1 当中的某个数字，然后 B 再赌 0 和 1 当中的某个数字，最后庄家给出 0 和 1 当中的某个数字；如果所有的三个数字都相同，则 A 和 B 获胜，否则庄家获胜。游戏前， A 和 B 可以商量一个对策，但游戏一旦开始，除了下赌注本身之外，两人不能再有其他任何形式的交流了。
容易看出，如果 A 和 B 都随机下注，他们只有 25% 的获胜概率。然而，如果两人事先约定，在每一轮中， B 总是跟着 A 下注， A 赌什么 B 就赌什么，那么他们获胜的概率就会提高到 50% 。但是，不管采用哪种方案，在最坏情况下，两人都有可能一次也不能获胜。
有意思的事情出现了。在游戏开始前两人商量策略的时候，两人突然意识到， B 有办法偷到庄家将会在游戏中使用的 01 序列。也就是说，游戏开始后，每一轮里庄家要出什么， B 都将会知道。但是，一旦 B 拿到了这个 01 序列， B 就不能和 A 交流了。在这样的条件下，两人能做得比刚才更好吗？能！比如说，两人可以保证在最坏情况下也有至少 50% 的获胜次数： B 可以在第 1, 3, 5, 7, … 轮游戏中赌下一轮庄家将会出的那个数（这相当于暗示了 A 下一轮赌什么），两人便能保证在第 2, 4, 6, 8, … 轮游戏中获胜了。
我们的问题是：假设游戏一共有 9 轮，设计一种策略使得 A 和 B 能够保证至少 6 次胜利。
两两接触的等粗且无限长的圆柱体
大家在吃饭喝酒时是否注意到了这样的事情：三个人碰杯时，每个人的杯子都能同时和其他两个人的杯子相接触，很完美；但是四个人碰杯时，任一时刻总会有两个人碰不到杯，非常尴尬。有一次和三个好朋友吃饭，四人碰杯时又发生了这种尴尬的情况，突然有一个人异想天开，把他的杯子放到了另外三个杯子的上面，从而实现了四个杯子两两接触！我们自然引出了这样一个问题：如果 n 个全等的圆柱体两两相接触，则 n 最大是多少？
对于不同形状的圆柱体，答案可能是不一样的。 Martin Gardner 在 Hexaflexagons and other mathematical diversions 一书中提到，我们可以精巧地摆放 5 枚硬币，使得它们两两相接触，如上图所示（注意，最底下还藏着一枚硬币）。同时， Martin Gardner 问到，能否摆放 6 支香烟让它们两两接触？一个经典的答案如下：
怎样把一个钝角三角形分成若干个锐角三角形
这是我最喜欢的几何谜题之一：你能否在纸上画一个钝角三角形，然后把它分割成若干个锐角三角形？令人难以置信的是，这竟然是可以办到的！继续看下去之前，大家不妨先自己想一会儿。
每次我在课堂上提出这个问题的时候，学生们总会疯狂而盲目地进行尝试。根据我的观察，绝大多数人都会先画一个不那么钝的钝角三角形（其实这本质上并不会简化我们的问题），然后作出一系列类似于图 1 的尝试，但最后都以失败告终。此时我往往会反复强调：要有方法啊，要有方法！首先，想必很多人已经注意到了，我们必须在钝角里引出一条线（如图 2 所示），这样才能把钝角给消除掉。接下来，则是很少有人意识到的一点：我们不能让这条线一直延伸到对边，否则原三角形将会被分成一个锐角三角形和一个钝角三角形（或者两个直角三角形），这并不能解决根本问题。也就是说，这条线在到达对边前就必须得分岔。最后一个关键的问题就是，分成几岔？显然，分成三岔（如图 3 所示）是不够的，因为这样只能把一个周角分成四份，它们不可能都是锐角。为了让所有的角都是锐角，我们至少要让这条线分成四岔（如图 4 所示）。最后，再把一些没有连起来的点连起来，我们就得到一个像模像样的答案了（如图 5 所示）。
