Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣题站 2014 年 4 月的谜题中提出了一个这样的问题：在最近非常流行的小游戏 2048 中，你能得到的最大的数是多少？
在这里，我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行，棋盘里填有一个个的“数块”，每个数块上都写有某个形如 2n 的正整数。每一步，你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向，按下对应的方向键之后，所有的数块都会“落”到这个方向；若有两个同种的数块在此过程中发生碰撞，则它们的值会相加起来，并合成一个新的数块。然后，系统会在棋盘中随机选择一个空白位置，并在此生出一个新的数块，上面写有数字 2 或者数字 4 （两种情况之比为 9 : 1）。游戏开始时，棋盘上会自动生成两个随机的数块，你的目标就是通过有限步的操作，得出一个写有 2048 的数块。当然，即使得到了 2048 这个数块，游戏也不会自动结束，你还可以向更大的数发起挑战。于是就有了我们刚才的问题：理论上，这个游戏当中能够得到的最大的数是多少？
这是 2014 年印度全国奥林匹克数学竞赛（INMO）的第 2 题：求证，对于任意正整数 n ，
[n/1] + [n/2] + [n/3] + … + [n/n] + [√n]
总是偶数。这里， [x] 表示不超过 x 的最大整数。
下面这个结论是 Andrew Jobbings 在 2011 年指出的：
AB 是圆 O 的一条直径， CD 、 EF 是两条垂直于 AB 的弦，并且以 CD 为直径的半圆和以 EF 为直径的半圆正好切于点 T 。那么，两个半圆的面积之和一定等于圆 O 的面积的一半。
你能证明这个结论吗？
某个导师要和 A 、 B 两名学生玩一个游戏。导师会把 A 、 B 两名学生分别放进两间小黑屋里，每间屋子里都有一台电脑，这两台电脑之间只有一条通信线路。然后，导师会想一个正整数 n （可能会非常非常大），把它的值告诉这两名学生；再构造出集合 {1, 2, …, n} 的两个子集，分别交给这两名学生。于是，每个人都知道了 n 的值和 {1, 2, …, n} 的一个子集。两人需要合作确定出，他们手中的集合是否包含公共的元素。他们之间交流信息的唯一途径就是那条通信线路，但他们能够使用的流量是有限的。具体能够使用多少 bit 的流量，这可以由他们自己决定，但必须在游戏开始之前（也就是 n 的值确定之前）就定好并告诉导师。
和其他类似的问题一样，在游戏开始之前，两人可以商量一个对策。不过，这一回，两人商量了很久，始终无法找到一个必胜的对策。就在两人快放弃的时候，他们突然发现，两人的通信线路上存在一个“漏洞”：两人都可以不计流量地访问一台特殊的第三方机器，我们不妨把它叫做机器 O 。不过，机器 O 只能做一件事情：从 A 那儿读取一个 1 到 n 的排列，从 B 那儿读取一个 1 到 n 的排列，然后计算出这两个排列复合之后是否恰好含有一个循环，并将计算结果分别告知 A 和 B 。然后，机器 O 就会自动关机，再也不能访问了。也就是说，A 和 B 只能使用机器 O 一次。注意， A 、 B 两人是无法看到对方传给机器 O 的数据的，另外机器 O 只能用于处理 1 到 n 之间的排列，不能处理其他大小的排列。
问题：能否用多米诺骨牌既无重复又无遗漏地覆盖一个 6 × 6 的棋盘，使得棋盘上的每一条水平线和每一条竖直线都会穿过至少一个多米诺骨牌？举个例子，下图所示的棋盘覆盖方案就是不满足要求的，因为棋盘的第二条水平线不会切断任何一个多米诺骨牌。
