概率论并不仅仅是用来算算概率的。有些时候，概率论远比我们想象中的更强大。
考虑这样一个问题。考虑集合X上的一个集合族，集合族中的所有集合大小均为d。我们说这个集合族是可以二染色的，如果对X的元素进行适当的红蓝二着色之后，每个集合里面都包含了两种颜色的元素。例如，当d=3时，{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,5}就是可二染色的，把1、2染成红色，把3、4、5染成蓝色，则每个集合里都含有两种颜色。是否存在d=3的不可二染色集族呢？这样的集族当然是存在的，例如取集合{1,2,3,4,5}的全部C(5,3)个元素个数为3的子集，则无论如何染色，总会有一个集合里面的元素全是一种颜色。上述推理立即告诉我们，对于一个给定的d，一定存在一个集合个数为C(2d-1, d)的不可二染色集族。这个数目还能再少吗？我们想知道，不可二染色集族中的集合个数最少可以少到什么地步。一个极其简单的证明给出了一个下界：集族的大小一定大于2^(d-1)。当d=3时，你一辈子也不能构造一个不可二染色集族，里面只含4个集合。
为了证明这一点，不妨对X中的所有元素进行随机着色，每个元素取成红色和蓝色的概率均等。那么，一个元素个数为d的集合中，所有元素均为一种颜色的概率就应该是1/2^(d-1)。如果集族内的集合个数只有不到2^(d-1)个，那么即使“集合中是否只有一种颜色”是互相独立的，这些事件的并（至少有一个集合内只有一种颜色）的概率也不超过2^(d-1) * 1/2^(d-1) = 1，何况这些事件还不是独立的，因此存在单色集合的概率必然小于1。这个概率值小于1说明什么？这说明，“至少有一个单色集合”并不是必然事件，一定有一种染色方案使得每个元素里都含两种颜色，换句话说该集族可以被二染色。
