下面这个题目来自 2015 年 7 月的 Using your Head is Permitted 。假设集合 S 是由所有形如 3x · 4y 的数构成的，其中 x 和 y 都是非负整数。因而，集合 S 是一个无穷集合，其中最小的几个元素依次为 1, 3, 4, 9, 12, 16, 27, … 。如果某个正整数 n 能表示成集合 S 中的一个或多个不重复的数之和，我们就说 n 是集合 S 的一个子集和。例如， 23 就是 S 的一个子集和，因为 23 可以表示成 3 + 4 + 16 。然而， 6 就不是 S 的一个子集和。
求证：除了有限多个正整数以外，其他所有的正整数都是集合 S 的子集和。
计算机历史上，很多存储器的写入操作都是一次性的。 Wikipedia 的 write once read many 词条里提到了两个最经典的例子，一个是大家熟悉的 CD-R 和 DVD-R ，另一个则是更早的打孔卡片和打孔纸带。在介绍后者时，文章里说：“虽然第一次打孔之后，没有孔的区域还能继续打孔，但这么做几乎没有任何实际用处。”因此，打孔卡片和打孔纸带通常也被看成是只能写入一次的存储设备。
事实上真的是这样吗？ 1982 年， Ronald Rivest 和 Adi Shamir 发表了一篇题为《怎样重复使用一次写入型存储器》（How to Reuse a “Write-Once” Memory）的论文，提出了一个很有意思的想法。大家有觉得 Ronald Rivest 和 Adi Shamir 这两个人名都很眼熟吗？没错，这两个人之前曾经和 Leonard Adleman 一道，共同建立了 RSA 公钥加密系统。其中， Ronald Rivest 就是 RSA 中的那个 R ， Adi Shamir 就是 RSA 中的那个 S 。
在这篇论文的开头， Ronald Rivest 和 Adi Shamir 举了一个非常简单的例子。假设初始时存储器里的所有 bit 全是 0 。存储器的写入操作是单向的，它只能把 0 变成 1 ，却不能把 1 变成 0 。我们可以把存储器里的每 3 个 bit 分为一组，每一组都只表达 2 个 bit 的值，其中 000 和 111 都表示 00 ， 100 和 011 都表示 01 ， 010 和 101 都表示 10 ， 001 和 110 都表示 11 。好了，假设某一天，你想用这 3 个 bit 表示出 01 ，你就可以把这 3 个 bit 从 000 改为 100 ；假设过了几天，你想再用这 3 个 bit 表示出 10 ，你就可以把这 3 个 bit 从 100 改为 101 。事实上，容易验证，对于 {00, 01, 10, 11} 中的任意两个不同的元素 a 、 b ，我们都能找到两个 3 位 01 串，使得前者表示的是 a ，后者表示的是 b ，并且前者能仅仅通过变 0 为 1 而得到后者。因此，每组里的 bit 都能使用两遍，整个存储器也就具备了“写完还能再改一次”的功能。
不可思议的是，两次表达出 {00, 01, 10, 11} 中的元素，其信息量足足有 4 个 bit ，这却只用 3 个 bit 的空间就解决了。这乍看上去似乎有些矛盾，但仔细一想你就会发现，这并没有什么问题。在写第二遍数据的时候，我们会把第一遍数据抹掉，因此总的信息量不能按照 4 个 bit 来算。利用这种技术，我们便能在 300KB 的一次写入型存储器里写入 200 KB 的内容，再把这 200KB 的内容改写成另外 200KB 的内容。这听上去似乎是神乎其神的“黑科技”，然而原理却异常简单。
2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ，我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ，我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ，我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ，我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。
房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后，立即拿出纸和笔，把这个金属框的样子画了下来。但是，由于五位画家观察这个金属框的角度不同，它们画出来的结果也互不相同。请问，这五位画家画出来的结果都是对的吗？换句话说，有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图？
波兰数学家 Wacław Sierpiński 对数论有很多研究。在他一生出版的 50 多本书里， 250 Problems of Elementary Number Theory 一书显得格外有趣。这里面不但有各种出人意料的数学事实，还有很多精妙的证明和大胆的构造，让人大呼过瘾。我从中选择了一些问题，在这里和大家一块儿分享。下面的文字没有完全照搬书中的内容，而是做了大量的改动和扩展；若有出错的地方，还请大家指正。个别题目会涉及一些初等数论中的著名定理，它们都可以在这篇文章里找到。