这本电子书的第五章非常牛 B ，里面讲到了一系列与多边形的内接图形有关的定理及其证明。有意思的是，同样是研究多边形的内接图形，当具体的研究对象不同时，证明手段也各有各的精彩，并且十分难得的是，这些证明都极具欣赏价值。读完这些巧妙的证明后，我迫不及待地想与大家分享。这里我们先来热热身，看一看最简单的情况：一个多边形内是否总能内接一个等边三角形。
答案是肯定的，任意一个多边形内总存在一个内接等边三角形。一个非常直观的证明是，令 P 为多边形边界上的一点， Q 点为多边形上的一个动点。以 PQ 为边作等边三角形，把这个三角形的第三点记作 R 。当 Q 离 P 点充分近的时候， R 显然在多边形内部；当 Q 点运动到离 P 点最远处 Q’ 时，多边形内的任意一点到 P 的距离都比 PQ’ 小，因此此时 R 点只可能在多边形外。但 R 的运动轨迹显然是连续的，因此在运动过程中它一定经过了多边形的边界。此时，我们就找到了多边形边界上的三个点 P 、 Q 、 R ，它们组成了一个等边三角形。
引言 什么是算法
如何寻找稳定的婚姻搭配
据说，一本书开篇就直言不讳地谈起两性的话题，这本书准能畅销。有幸的是，在众多可以用来引入“算法”的话题中，我最喜欢的那一个还真与两性有那么一些关系。假如你是一个媒人，有若干个单身男子登门求助，还有同样多的单身女子也前来征婚。如果你已经知道这些女孩在每个男人心目中的排名，以及男孩们在每个女孩心中的排名(1)，你应该怎样为他们牵线配对呢？
最好的配对方案当然是，每个人的另一半正好都是自己的“第一选择”。这虽然很完美，但绝大多数情况下都不可能实现。比方说，男 1 号的最爱是女 1 号，而女 1 号的最爱不是男 1 号，这两个人的最佳选择就不可能被同时满足。如果出现了好几个男人的最爱都是同一个女孩儿的情况，这几个男人的首选也不会同时得到满足。当这种最为理想的配对方案无法实现时，怎样的配对方案才能令人满意呢？
其实，找的对象太完美不见得是个好事儿，和谐才是婚姻的关键。如果男 1 号和女 1 号各自有各自的对象，但男 1 号觉得，比起自己现在的对象，女 1 号更好一些；女 1 号也发现，在自己心目中，男 1 号的排名比现男友更靠前一些。这样一来，这两人就可能会发生外遇，最后扔下各自现在的对象，一起私奔了——因为这个结果对他们两人都更好一些。在一种男女配对的方案中，如果出现了这种情况，我们就说婚姻搭配是不稳定的。作为一个红娘，你深深地知道，对象介绍得不好没有关系，就怕婚姻关系不稳定。给客户牵线配对时，虽然不能让每个人都得到最合适的，但婚姻搭配必须得是稳定的。换句话说，对于每一个人，在他心目中比他当前的伴侣更好的异性，都不会认为他也是一个更好的选择。现在，我们的问题就是：稳定的婚姻搭配总是存在吗？应该怎样寻找出一个稳定的婚姻搭配？
显然，过 Pizza 的圆心作四条直线，把一个周角平分成八等份，则整个 Pizza 饼也被分成了八等份。我们也很容易联想到，如果过圆心外的一点做出四条直线，并且同样满足每两条相邻直线夹 45 度角，那么这八块 Pizza 饼显然是不一样大的。考验你直觉的时候到了：你认为蓝色面积之和与红色面积之和相比，哪个大一些呢？
来源：MathOverflow
不得不说，确实很妙！
如图，两条直线相交于点 O 。 △ABC 的顶点 A 在其中一条直线上，顶点 B 在另一条直线上。如果保持 △ABC 的各边边长不变，让点 A 和点 B 在所在直线上滑动，那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？