在机器时代，作为机械构造的理论工具，连杆系统曾一度成为数学界中最热门的话题。所谓连杆系统，就是一些刚性的小杆在端点处以转轴的方式相连，形成的一个机械装置。固定某些顶点的位置之后，其余的动点就能画出一些有趣的轨迹。比方说，固定线段 AB 的其中一个端点 A ，则顶点 B 将描绘出一个绕 A 点的圆周。
连杆系统最激动人心的，莫过于一些简单的连杆装置能够描绘出非常复杂的曲线。例如，上面的右图就是由五根相同长度的线段构成的连杆。固定 A 、 B 两个端点后，显然 C 和 D 描绘出的都是圆弧，但 E 点的轨迹就很难以想象了。事实上， E 点的轨迹相当的诡异，需要用一些复杂的代数语言才能描述。
这一系列文章的最后，我们将证明：任意凸多边形内均存在内接正方形。事实上，这几乎是“任意凸多边形内均存在内接菱形”这一命题的直接推论。在这篇日志中，我们实际上证明了这样一个结论：在任意凸多边形中，任选一个方向 u ，总能找到一个内接菱形，它的其中一条对角线与所选方向平行。
现在，慢慢旋转方向 u ，则所得菱形的两条对角线将连续地变化。当方向 u 旋转了 90 度后，原来的两条对角线交换了位置，换句话说两条对角线的长度之差变号了。因此，在方向 u 旋转的过程中，必然有一个时刻两条对角线的长度恰好相同，此时内接正方形也就得到了。
可能有的读者想问了，去掉“凸多边形”这一条件，任意多边形内都存在内接正方形吗？答案是肯定的。 Square Peg 定理告诉我们，对于任意一个简单多边形，总能在上面找到四个点，使得它们恰好是一个正方形的四个顶点。定理的证明需要用到很多之前提到的类似的方法，不过更加复杂一些，这里就不再叙述了。
最后还有一个有趣的话题想与大家分享一下。大家看到了，在一个多边形内内接等边三角形、矩形、菱形甚至正方形都是没有问题的，那么这类问题的极限在哪里？有什么图形是一个多边形内不能内接的吗？肯定是有的。下面我们证明，存在一个多边形，它不能内接正七边形。
事实上，任何三角形内都不能内接正七边形。考虑一个正七边形的外接圆，它与三角形最多只有六个交点（因为一条线段和一个圆最多只能产生两个交点），因此正七边形显然是不能内接于三角形内的。
我们曾经用两种巧妙的方法证明了这样一个命题：任意凸多边形内均存在内接菱形。利用上次讲到的登山引理，我们可以证明一个更强的命题：任意多边形内均存在内接菱形。
证明的大致思路如下：在多边形外任选一点 u 。把多边形上离 u 最近的点记作 y ，把多边形上离 u 最远的点记作 z 。 y 和 z 这两个点就把整个多边形的边界分成了两个部分。
23. 一些硬币互不重叠地放在桌上。四色定理告诉我们，若要对硬币进行染色，使得挨在一起的硬币颜色不同的话，最多只需要四种颜色就可以了。存在至少需要四种颜色的构造吗？
答案：存在。如图，若只允许三种颜色的话， A 的颜色必须与所有阴影硬币颜色相同， B 的颜色也必须与所有阴影硬币颜色相同， A 、 B 将会同色。
承认选择公理可能给我们带来很多有悖于直觉的结论。最著名的例子可谓 Banach-Tarski 悖论了：你可以把一个三维的实心球分成有限多块，通过刚体移动把它变成两个和原来一模一样的球。本 Blog 还介绍过另外一个有趣的结论，它违背常理的程度也不亚于 Banach-Tarski 悖论。今天，我给大家看一个比这些悖论更加荒唐的结论：利用选择公理，我们可以实现预测未来！
在探讨这个话题之前，我们得先为“预测未来”建立一个合理的数学模型。我们假设，对于任一时刻，宇宙中的所有信息都可以编码为某个状态值，我们就把它叫做宇宙的一个“点状态”。宇宙中所有可能的点状态就组成了宇宙的“状态集合”。以数学的眼光看宇宙，一个宇宙也就无非是一个一元函数 f(t) 。它的定义域是整个时间轴 R ，它的值域是宇宙的状态集合，预测未来也就仅仅是根据已知的函数值来推测未知的函数值罢了。假设我们已经知道在区间 (-∞, t0) 上函数的所有取值，如果你能据此给出 f(t0) 的精确值，我们就说你成功地预测了 t0 时刻的宇宙状态。当然，仅凭借过去的信息你是不可能保证猜对 t0 时刻的点状态的，例如对于两个只在 t0 处有区别的宇宙，算法最多只能猜对其中一个宇宙在 t0 处的状态。但你相信吗，存在一个算法，使得我能正确预测几乎所有时间点的宇宙状态。换句话说，我能构造出这样一个算法，使得除了可数个点以外，给定任意一点以前的全部函数值，我都能套用该算法猜对该点的点状态。再换句话说，利用这个算法预测任意时刻的宇宙状态，成功的概率为 1 。
