证明：任意给定一个面积为 1 的凸多边形，我们总能把它放进一个面积为 2 的矩形里。
注意，这里“凸多边形”的条件是必需的——如果图形不是凸的，很容易想出反例来。
证明
Conway常数是怎么得来的？
在所有寻找数字规律的谜题中，下面这个难题可能是最有意思的题目之一了：
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ⋯⋯
上面这个数列有什么规律？
若你是第一次听到这个问题，你一定会非常喜欢问题的答案：下一个数是对上一个数的描述，比方说 1211 里有 “ 1 个 1 ， 1 个 2 ， 2 个 1 ” ，那么 111221 就是它的下一个数。通常我们把这个数列叫做“外观数列”。
作为一个让人拍案叫绝的智力游戏，外观数列的故事似乎就已经到此为止了。可是，人们渐渐发现，外观数列里面还大有文章可做。例如，数列中的数虽然会越来越长，但数字 4 始终不会出现。这些优雅的性质成功地引来了数学家们的围观。在对外观数列的研究中，最引人注目的成果之一要归功于英国数学家 John Conway 。 1987 年， John Conway 发现，在这个数列中，相邻两数的长度之比越来越接近一个固定的数。最终，数列的长度增长率将稳定在 30% 左右。事实上，如果把数列中第 n 个数的长度记作 L_n ，则当 n 趋于无穷大的时候， L_(n+1) / L_n 将趋于一个极限。 John Conway 把这个极限用希腊字母 λ 表示，并证明了这个数是 71 次方程
x^71 – x^69 – 2*x^68 – x^67 + 2*x^66 + 2*x^65 + x^64 – x^63 – x^62 – x^61 – x^60 – x^59 + 2*x^58 + 5*x^57 + 3*x^56 – 2*x^55 – 10*x^54 – 3*x^53 – 2*x^52 + 6*x^51 + 6*x^50 + x^49 + 9*x^48 – 3*x^47 – 7*x^46 – 8*x^45 – 8*x^44 + 10*x^43 + 6*x^42 + 8*x^41 – 5*x^40 – 12*x^39 + 7*x^38 – 7*x^37 + 7*x^36 + x^35 – 3*x^34 + 10*x^33 + x^32 – 6*x^31 – 2*x^30 – 10*x^29 – 3*x^28 + 2*x^27 + 9*x^26 – 3*x^25 + 14*x^24 – 8*x^23 – 7*x^21 + 9*x^20 + 3*x^19 – 4*x^18 – 10*x^17 – 7*x^16 + 12*x^15 + 7*x^14 + 2*x^13 – 12*x^12 – 4*x^11 – 2*x^10 + 5*x^9 + x^7 – 7*x^6 + 7*x^5 – 4*x^4 + 12*x^3 – 6*x^2 + 3*x – 6 = 0
的唯一实数解，它约为 1.303577 。这就是传说中的 Conway 常数。
画圈圈和画叉叉的区别
给你一张纸，要求你在上面画尽可能多的圆圈，使得所有圆圈都不相交。你最多能画多少个？
显然，你可以画无穷多个圆圈。事实上，你可以画不可数个圆圈——只需要画出一系列半径长均为无理数的同心圆即可。由于每两个无理数之间都夹有有理数，因此任意两个圆都没挨在一块儿。
给你一张纸，要求你在上面画尽可能多的叉，使得所有的叉都不相交。你最多能画多少个？
你可以画无穷多个不相交的叉。画法有很多，下图便是一种方案：
现在问题来了：你能在纸上画出不可数个叉吗？如果可以，请给出一种方案；如果不行，证明之。
趣题：三角形内切圆的一个性质
动脑时间咯！搞搞几何题，脑子不生锈。作出任意三角形 ABC 的内切圆 ⊙I ，它与 AC 相切于点 N 。过 N 作 AC 的垂线，与 ⊙I 的另一个交点记作 M （因此 MN 就是这个圆的一条直径）。连接并延长 BM ，与 AC 交于点 L 。求证： CN＝AL 。
《新知客》趣题专栏 2010.10
目前，我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。
推理
1. 在每一个小题中，我们都按照某种属性把 26 个字母分成了两组。请你找出每个小题中的分组依据。
(1) CEFGHIJKLMNSTUVWXYZ ABDOPQR
(2) AEFHIKLMNTVWXYZ BCDGJOPQRSU
(3) COPSUVWXZ ABDEFGHIJKLMNQRTY
(4) ABCDEFGQRSTVWXZ HIJKLMNOPUY
(5) CDILMVX ABEFGHJKNOPQRSTUWYZ
2. 在面临二选一的情形犹豫不决时，很多人喜欢用抛硬币来解决问题。但是，由于硬币的两侧轻重不一，因此正反两面出现的几率并不是绝对均等的。这样的话，我们还能让硬币来帮助我们做决定吗？于是就有了下面这个有趣的问题：
假如你手中有一枚不公平的硬币，其中一面朝上的概率更大一些（但是你不知道具体大了多少）。你能想办法用这枚硬币“模拟”出一枚公平的硬币吗？